[论文解读] Dirac structures, moment maps and quasi-Poisson manifolds

Henrique Bursztyn, Marius Crainic|ArXiv.org|Oct 28, 2003

Advanced Topics in Algebra被引用 5

一句话总结

本文将泊松映射与辛群胚作用之间的对应关系推广至狄拉克几何，引入狄拉克实现作为广义动量映射。它建立了在单连通李群上卡坦-狄拉克结构的完备狄拉克实现与哈密顿拟泊松 G-流形之间的一一对应关系，通过狄拉克几何与连接扭曲狄拉克结构和拟泊松张量的反演程序，统一了马尔施登-韦恩斯坦、卢、徐以及拟泊松的约化方法。

ABSTRACT

We extend the correspondence between Poisson maps and actions of symplectic groupoids, which generalizes the one between momentum maps and hamiltonian actions, to the realm of Dirac geometry. As an example, we show how hamiltonian quasi-Poisson manifolds fit into this framework by constructing an ``inversion'' procedure relating quasi-Poisson bivectors to twisted Dirac structures.

研究动机与目标

• 将动量映射的概念从泊松几何推广至狄拉克几何，扩展泊松映射与辛群胚作用之间对应关系的框架。
• 通过统一框架阐明拟泊松流形、拟哈密顿空间与扭曲狄拉克结构之间的精确关系。
• 通过狄拉克实现的积分，全局实现无穷小拟泊松作用，得到预辛群胚作用。
• 在单一狄拉克几何约化方案中统一马尔施登-韦恩斯坦、卢、徐以及拟泊松的约化程序。
• 通过显式反演程序建立扭曲狄拉克结构与拟泊松张量之间的对偶性。

提出的方法

• 在狄拉克几何中引入狄拉克实现作为泊松映射的推广，定义为从流形到狄拉克流形的狄拉克映射，满足特定的横截性与可积性条件。
• 为拟泊松流形 $M$ 构造 $T^*M \oplus \mathfrak{g}$ 上的李代数丛结构，推广泊松几何中余切李代数丛的概念。
• 定义一种“反演”程序，将扭曲狄拉克结构（如李群上的卡坦-狄拉克结构）映射为拟泊松张量，建立两者之间的对偶性。
• 利用李代数丛的典型积分，将完备狄拉克实现积分至预辛群胚作用，识别出 AMM-群胚为积分后的预辛群胚。
• 应用狄拉克约化构造约化后的泊松空间，证明其与经典约化与拟泊松约化定理相容。
• 利用 $G \times G$ 上的典型预辛结构（即 AMM-群胚）实现 $G$ 上卡坦-狄拉克结构的积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 动量映射的概念如何从泊松几何推广至狄拉克结构的设定？
• RQ2 拟泊松 $\mathfrak{g}$-流形与李群上扭曲狄拉克结构之间的确切关系是什么？
• RQ3 狄拉克实现如何积分至全局作用？它们产生何种类型的群胚作用？
• RQ4 是否能在一个统一的狄拉克几何框架中描述拟泊松流形的约化？
• RQ5 反演程序在连接扭曲狄拉克结构与拟泊松张量中起什么作用？

主要发现

• 在单连通李群 $G$ 上，卡坦-狄拉克结构的完备狄拉克实现与哈密顿拟泊松 $G$-流形之间存在一一对应关系。
• 反演程序在 $G$ 上的扭曲狄拉克结构与流形上的拟泊松张量之间建立了对偶性，在非退化情形下恢复了 [2, 定理 10.3] 中的对应关系。
• 积分卡坦-狄拉克结构的典型预辛群胚同构于配备特定 $\phi^G$-扭曲 2-形式的 AMM-群胚 $G \ltimes G$。
• 对完备狄拉克实现 $J: M \to G$ 执行狄拉克约化，得到泊松空间 $J^{-1}(g)/G_g$，其与通过拟泊松约化获得的空间一致。
• 与完备狄拉克实现相关的全局作用积分了无穷小拟泊松 $\mathfrak{g}$-作用，使得 $M$ 成为以 $J$ 为群值动量映射的哈密顿拟泊松 $G$-流形。
• 该框架统一了多种约化定理：当 $M = \mathfrak{g}^*$ 时，恢复马尔施登-韦恩斯坦约化；当 $M = G^*$ 时，恢复卢的约化；当 $M = G$ 时，恢复拟哈密顿约化。