[论文解读] Direct and inverse problems for the nonlinear time-harmonic Maxwell equations in Kerr-type media

Yernat M. Assylbekov, Ting Zhou|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 30被引用 13

一句话总结

本文通过边界测量时间谐和电磁场，建立了在Kerr型介质中对电磁材料参数（介电常数、磁导率）及非线性极化率系数（a, b）的唯一恢复。利用具有Kerr非线性的非线性时间谐和麦克斯韦系统，作者证明了直接问题的适定性以及通过Dirichlet-to-Neumann映射在反问题中的唯一性，借助复几何光学解与简单流形上的衰减射线变换。

ABSTRACT

In the current paper we consider an inverse boundary value problem of electromagnetism in a nonlinear Kerr medium. We show the unique determination of the electromagnetic material parameters and the nonlinear susceptibility parameters of the medium by making electromagnetic measurements on the boundary. We are interested in the case of the time-harmonic Maxwell equations.

研究动机与目标

• 在具有边界的紧致黎曼流形上，建立Kerr型介质中非线性时间谐和麦克斯韦方程直接问题的适定性。
• 研究通过边界测量确定电磁材料参数与非线性极化率的反边界值问题。
• 证明复介电常数ε、磁导率μ以及非线性系数a、b可通过Dirichlet-to-Neumann映射唯一确定。
• 利用微分几何与PDE理论的先进工具，将线性反问题结果推广至非线性电磁学反问题。

提出的方法

• 建立具有Kerr型非线性的时谐麦克斯韦方程：*dE = iωμH + iωb|H|²H 与 *dH = -iωεE - iωa|E|²E。
• 利用Sobolev空间W^{1,p}_{Div}与迹空间TW^{1-1/p,p}_{Div}，通过∂M上的切向迹定义边界条件。
• 对线性化系统应用复几何光学（CGO）解，以探测非线性参数。
• 将反问题约化为在二维简单流形上具有常数衰减-2λ的衰减测地线射线变换的单射性问题。
• 利用傅里叶变换的唯一性与衰减射线变换的单射性，证明f = h = 0，从而推出a₁ = a₂与b₁ = b₂。
• 依赖于线性麦克斯韦方程的正则性理论（定理A.1），确保解属于反问题分析所需的适当Sobolev空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过边界测量唯一确定Kerr型介质中的电磁材料参数（ε, μ）与非线性极化率系数（a, b）？
• RQ2 在Sobolev空间中，对于小的边界数据，非线性时间谐和麦克斯韦方程的直接问题是否适定？
• RQ3 Dirichlet-to-Neumann映射是否能唯一确定Kerr非线性中的非线性参数a与b？
• RQ4 衰减射线变换的单射性是否可用于从边界数据恢复非线性系数？
• RQ5 为确保解的存在性与唯一性，对ε、μ、a、b及边界数据的正则性条件有何要求？

主要发现

• 对于W^{1,p}_{Div}(M)中边界数据足够小的情况，非线性时间谐和麦克斯韦方程的直接问题在3 < p ≤ 6时是适定的。
• 对于所有ω不在离散的共振频率集合中的情况，当边界数据足够小时，在W^{1,p}_{Div}(M) × W^{1,p}_{Div}(M)中存在唯一的解(E, H)。
• 在已知材料参数ε与μ的前提下，非线性极化率系数a与b可通过Dirichlet-to-Neumann映射唯一确定。
• 该证明依赖于在二维简单流形上具有常数衰减-2λ的衰减测地线射线变换的单射性。
• 通过改变复频率参数λ并利用傅里叶变换的唯一性，作者证明边界数据可唯一确定全部非线性系数。
• 在介质为具有光滑边界的紧致三维黎曼流形且非线性项为Kerr型的假设下，反问题可唯一求解。