[论文解读] Direct and inverse scattering problems for the first-order discrete system associated with the derivative NLS system

Tuncay Aktosun, Ramazan Ercan|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2021

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文为与半离散导数NLS方程相关的首阶离散系统建立了直接与逆散射理论。通过引入一种新颖的矩阵三元组形式，处理任意重数的束缚态，实现了通过广义离散Marchenko系统与逆散射变换的显式封闭形式解，解以常数矩阵三元组编码的谱数据表示。

ABSTRACT

The direct and inverse scattering problems are analyzed for a first-order discrete system associated with the semi-discrete version of the derivative NLS system. The Jost solutions, the scattering coefficients, the bound-state dependency and norming constants are investigated and related to the corresponding quantities for two particular discrete linear systems associated with the semi-discrete version of the NLS system. The bound-state data set with any multiplicities is described in an elegant manner in terms of a pair of constant matrix triplets. Several methods are presented to the solve the inverse problem. One of these methods involves a discrete Marchenko system using as input the scattering data set consisting of the scattering coefficients and the bound-state information, and this method is presented in a way generalizable to other first-order systems both in the discrete and continuous cases for which a Marchenko system is not yet available. Finally, using the time-evolved scattering data set, the inverse scattering transform is applied on the corresponding semi-discrete derivative NLS system, and in the reflectionless case certain explicit solution formulas are presented in closed form expressed in terms of the two matrix triplets.

研究动机与目标

• 为与半离散导数NLS方程相关的首阶离散系统建立严格的直接与逆散射理论。
• 将束缚态的处理从标准的简并性假设推广至任意重数。
• 开发一种系统化方法，利用散射数据输入的离散Marchenko系统求解逆散射问题。
• 在无反射情况下，通过矩阵三元组参数化，推导出半离散导数NLS系统的显式封闭形式解。
• 通过避免对左右散射数据分离及替代系统形式的复杂处理，统一并推广现有方法。

提出的方法

• 使用单位圆上的谱参数z的首阶线性系统来表述离散散射问题。
• 引入两个辅助的Ablowitz-Ladik型系统（1.5）和（1.6），将Jost解、散射系数与束缚态数据与原系统（1.1）关联起来。
• 使用一对常数矩阵三元组（A, B, C）与（Ā, B̄, C̄）表示束缚态数据，实现对任意重数束缚态的紧凑且通用的描述。
• 利用散射系数与范数常数作为输入，构建离散Marchenko系统，实现对势能对（q, r）的重构。
• 应用时间演化后的散射数据的逆散射变换，推导出半离散导数NLS系统的显式解。
• 通过多种反演路径推导出多个显式解公式，包括Marchenko核与涉及（A, B, C）和（Ā, B̄, C̄）的矩阵表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地表述与半离散导数NLS方程相关的首阶离散系统的直接与逆散射问题？
• RQ2 在离散散射系统中，描述具有任意重数的束缚态数据的最一般且优雅的方式是什么？
• RQ3 即使此前未存在此类系统，是否可以为这类系统构建并求解离散Marchenko系统？
• RQ4 如何利用散射数据推导出半离散导数NLS方程的显式封闭形式解？
• RQ5 矩阵三元组在统一与简化此类系统的逆散射过程中起到什么作用？

主要发现

• 本文为与半离散导数NLS方程相关的首阶离散系统的直接与逆散射问题提供了完整且通用的框架。
• 通过一对常数矩阵三元组，优雅地描述了具有任意重数的束缚态数据，避免了对简并特征值的限制性假设。
• 成功构建并求解了离散Marchenko系统，利用散射数据提供了一种可推广的离散与连续首阶系统逆散射方法。
• 在无反射情况下，推导出半离散导数NLS系统的显式封闭形式解，解以矩阵三元组（A, B, C）与（Ā, B̄, C̄）表示。
• 推导出多个等价的解公式，包括通过Marchenko核、时间演化核以及涉及（A, B, C）与（Ā, B̄, C̄）的矩阵表达式表示的qn与rn。
• 解公式明确以矩阵逆与乘积形式给出，例如K̄(p,s)nm = −C(p,s)An−1(I−A)−1( V̄(p,s)n )−1EAmB，表明可从谱数据完全重构。