[论文解读] Direct epiperimetric inequalities for the thin obstacle problem and applications

Maria Colombo, Luca Spolaor+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 25被引用 33

一句话总结

本文在不假设函数先前接近齐次函数的前提下，为薄障碍问题在频率 $\frac{3}{2}$ 和 $2m$（$m \in \mathbb{N}$）的情形建立了直接的外测度不等式。它在所有奇异点处证明了对数型外测度不等式，从而提供了自由边界正则性的全新、自包含证明，并表明奇异集 $\mathcal{S}^{2m}$ 具有对数型模连续性，优于已知的 $C^1$ 正则性。

ABSTRACT

For the thin obstacle problem, we prove by a new direct method that in any dimension the Weiss' energies with frequency $\\frac32$ and $2m$, for $m\\in \\mathbb N$, satisfy an epiperimetric inequality, in the latter case of logarithmic type. In particular, at difference from the classical statements, we do not assume any a priori closeness to a special class of homogeneous functions. In dimension $2$, we also prove the epiperimetric inequality at any free boundary point. As a first application, we improve the set of admissible frequencies for blow ups, previously known to be $\\lambda \\in \\{\\frac32\\} \\cup [2,\\infty)$, and we classify the global $\\lambda$-homogeneous minimizers, with $\\lambda\\in [\\frac32,2+c]\\cup\\bigcup_{m\\in \\mathbb N}(2m-c_m^-,2m+c_m^+)$, showing as a consequence that the frequencies $\\frac32$ and $2m$ are isolated. Secondly, we give a short and self-contained proof of the regularity of the free boundary previously obtained by Athanasopoulos-Caffarelli-Salsa (Amer. J. Math., 130(2) (2008), 485-498) for regular points and Garofalo-Petrosyan (Invent. Math., 177(2) (2009), 415-461) for singular points, by means of an epiperimetric inequality of logarithmic type which applies for the first time also at all singular points of thin-obstacle free boundaries. In particular we improve the $C^1$ regularity of the singular set with frequency $2m$ by an explicit logarithmic modulus of continuity.

研究动机与目标

• 在不假设函数先前接近齐次函数的前提下，为薄障碍问题在频率 $\frac{3}{2}$ 和 $2m$ 处建立直接的外测度不等式。
• 在自由边界的所有奇异点处统一证明对数型外测度不等式。
• 提供自由边界正则性的自包含证明，包括对奇异集 $\mathcal{S}^{2m}$ 的改进正则性。
• 对 $\lambda \in \left[\frac{3}{2}, 2+c\right] \cup \bigcup_{m \in \mathbb{N}} (2m - c_m^-, 2m + c_m^+)$ 范围内的全局 $\lambda$-齐次极小化函数进行分类，证明 $\frac{3}{2}$ 和 $2m$ 是孤立频率。
• 将奇异集 $\mathcal{S}^{2m}$ 的正则性从 $C^1$ 提升至 $C^{1,\log}$，并显式给出对数型模连续性。

提出的方法

• 通过分析威斯频率函数和莫纳乌类型单调性公式，提出一种不依赖于爆破收敛的直接方法来证明外测度不等式。
• 利用威斯频率函数 $N^{x_0}(r,u)$ 及其极限 $N^{x_0}(0,u)$ 按频率对自由边界点进行分类。
• 通过一种新型缩放论证和球面对平均的 $L^1$-型估计，为 $2m$-齐次函数建立对数型外测度不等式。
• 应用惠特尼延拓定理，将爆破极限 $p_x$ 延拓为全局 $C^{2m,\log}$ 函数 $F$，并利用奇异点处导数的非退化性。
• 在 $F$ 的等值集上应用隐函数定理，证明 $\mathcal{S}^{2m}_k \cap B_r(x)$ 在每个 $x \in \mathcal{S}^{2m}$ 附近位于一个 $k$-维 $C^{1,\log}$ 子流形中。
• 通过利用对数衰减形式的 $|x_1 - x_2|$ 估计 $\|p_{x_1} - p_{x_2}\|_{L^\infty}$ 和 $|\lambda_{x_1} - \lambda_{x_2}|$，得到奇异集的 $C^{1,\log}$ 正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设函数先前接近齐次函数的前提下，为薄障碍问题在频率 $\frac{3}{2}$ 和 $2m$ 处直接证明外测度不等式？
• RQ2 对数型外测度不等式是否在自由边界的所有奇异点（包括频率为 $2m$ 的点）处一致成立？
• RQ3 能否通过直接的外测度方法重新证明自由边界的正则性，包括对奇异集 $\mathcal{S}^{2m}$ 的改进正则性？
• RQ4 哪些频率 $\lambda$ 是全局 $\lambda$-齐次极小化函数的允许频率？$\frac{3}{2}$ 和 $2m$ 是否为孤立频率？
• RQ5 奇异集 $\mathcal{S}^{2m}$ 的最优模连续性是什么？是否可超越 $C^1$ 正则性？

主要发现

• 本文证明了在频率 $\frac{3}{2}$ 处，薄障碍问题存在不依赖于先前接近齐次函数的直接外测度不等式。
• 在所有频率 $2m$（$m \in \mathbb{N}$）处，建立了对所有自由边界点（包括奇异点）均成立的对数型外测度不等式。
• 爆破极限的允许频率集合被改进为 $\lambda \in \left[\frac{3}{2}, 2+c\right] \cup \bigcup_{m \in \mathbb{N}} (2m - c_m^-, 2m + c_m^+)$，并证明 $\frac{3}{2}$ 和 $2m$ 是孤立频率。
• 奇异集 $\mathcal{S}^{2m}$ 局部包含于一个 $k$-维 $C^{1,\log}$ 子流形中，其正则性优于已知的 $C^1$ 正则性，并显式给出了对数型模连续性。
• 爆破极限 $p_x$ 的变化满足对数型模连续性：对任意 $x_1, x_2 \in \mathcal{S}^{2m} \cap K \Subset B_1$，有 $\|p_{x_1} - p_{x_2}\|_{L^\infty} \leq C (-\log|x_1 - x_2|)^{-\frac{1 - \gamma}{\gamma}}$。
• 自由边界正则性的证明是自包含的，仅依赖于新的对数型外测度不等式，统一处理了正则点与奇异点。