[论文解读] Direct image of logarithmic complexes and infinitesimal invariants of cycles

Morihiko Saito|ArXiv.org|Jun 1, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文建立了在具有法向交截除子的射影态射上，对数 de Rham 复形的直接像的过滤分解定理，表明其可分解为与 Hodge 结构变化相关的过滤对数复形的直和。其关键贡献是通过这些过滤复形的上同调，自然地定义了代数周期的总无穷小不变量，这些不变量等价于周期的上同调类，并推广了霍奇理论中早期的不变量。

ABSTRACT

We show that the direct image of the filtered logarithmic de Rham complex is a direct sum of filtered logarithmic complexes with coefficients in variations of Hodge structures, using a generalization of the decomposition theorem of Beilinson, Bernstein and Deligne to the case of filtered $D$-modules. The advantage of using the logarithmic complexes is that we have the strictness of the Hodge filtration by Deligne after taking the cohomology group in the projective case. As a corollary, we get the total infinitesimal invariant of a (higher) cycle in a direct sum of the cohomology of filtered logarithmic complexes with coefficients, and this is essentially equivalent to the cohomology class of the cycle.

研究动机与目标

• 将贝林森、伯恩斯坦与德利涅的分解定理推广至对数 de Rham 复形背景下的过滤 $D$-模。
• 在射影态射 $f: X \to S$ 且 $Y = f^*D$ 为法向交截除子的背景下，建立直接像的过滤对数 de Rham 复形与以 Hodge 结构变化为系数的过滤对数复形直和之间的典范同构。
• 通过过滤对数复形的上同调，定义代数几何时高阶周期的总无穷小不变量。
• 证明这些不变量等价于周期的上同调类，从而推广了霍奇理论与周期理论中的先前结果。

提出的方法

• 使用过滤导出范畴分析射影态射 $f: X \to S$ 上对数 de Rham 复形 $(\Omega_X^\bullet(\log Y), F)$ 的直接像 $\mathbf{R}f_*(\Omega_X^\bullet(\log Y), F)$，其中 $Y = f^*D$ 为法向交截除子。
• 应用过滤 $D$-模的广义分解定理，将 $\mathbf{R}f_*(\Omega_X^\bullet(\log Y), F)$ 分解为 $\mathrm{DR}(M^i), F)[-i]$ 的直和，其中 $M^i$ 为正则整体 $D$-模。
• 在直接像复形上构造一个分裂的递增过滤 $L$，其分次项同构于 $\mathrm{DR}(M^i), F)[-i]$，并确保与霍奇过滤相容。
• 利用局部系统 $\widetilde{V}^i$ 的德利涅延拓 $\widetilde{V}^i$ 定义 $\mathrm{DR}_{\log}(\widetilde{V}^i)$，其自然地携带霍奇过滤 $F^p$。
• 通过上同调群 $\mathbf{H}^i(S, F^p\,\mathrm{DR}(M^{2p-n-i}))$ 和 $\mathbf{H}^i(S, \mathrm{Gr}_F^p\,\mathrm{DR}(M^{2p-n-i}))$ 分别定义总无穷小不变量 $\delta_{S,D}(\xi)$ 与 $\overline{\delta}_{S,D}(\xi)$。
• 利用射影情形下霍奇过滤在上同调后保持严格性，确保不变量的良定义性及在零化条件下的选择无关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有法向交截除子的射影态射背景下，如何分解过滤对数 de Rham 复形的直接像？
• RQ2 过滤对数复形的上同调与代数周期的无穷小不变量之间存在何种关系？
• RQ3 能否通过以 Hodge 结构变化为系数的过滤对数复形，自然地定义高阶周期的总无穷小不变量？
• RQ4 在分解定理中，总无穷小不变量在何种条件下与分裂选择无关？
• RQ5 在过滤对数复形框架下，周期的上同调类与其无穷小不变量之间有何关系？

主要发现

• 直接像 $\mathbf{R}f_*(\Omega_X^\bullet(\log Y), F)$ 在过滤导出范畴中存在非典范同构，与 $\mathrm{DR}(M^i), F)[-i]$ 的直和同构，且其典范分次项同构于 $\mathrm{DR}(M^i), F)[-i]$。
• 当 $D$ 为法向交截除子时，分解成立，且 $\mathrm{DR}(M^i)$ 可替换为 $\mathrm{DR}_{\log}(\widetilde{V}^i)$，从而将结果与德利涅对 Hodge 结构的典范延拓联系起来。
• 周期 $\xi \in \mathrm{CH}^p(X\setminus Y, n)$ 的总无穷小不变量 $\delta_{S,D}(\xi)$ 属于 $\bigoplus_{i \geq 0} \mathbf{H}^i(S, F^p\,\mathrm{DR}(M^{2p-n-i}))$，且当下属阶不变量为零时，其与分裂选择无关。
• $\overline{\delta}_{S,D}(\xi)$（在分次霍奇过滤中定义）同样良定义，且等价于周期的上同调类。
• 当 $S$ 为 Stein 或仿射时，上同调群 $\mathbf{H}^i(S, F^p\,\mathrm{DR}_{\log}(\widetilde{V}^q))$ 可由复形 $\Gamma(S, \Omega_S^\bullet(\log D) \otimes F^{p-\bullet}\widetilde{V}^q)$ 计算。
• 当 $s=1$ 时，在一般性假设下，论文证明了对某个 $a=1,2$ 有 $\delta_S^s(\xi_{a,\mathcal{X}}) \neq 0$，意味着几何一般纤维中周期类的非挠性。