[论文解读] Directed homotopy theory, I. The fundamental category

Marco Grandis|ArXiv.org|Nov 5, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 59

一句话总结

本文引入基本范畴作为经典代数拓扑中基本群胚的有向类比，为具有特权方向路径的d-空间（带方向的拓扑空间）建立了不可逆的同伦理论。通过柱子与路径函子，证明了有向的Seifert–van Kampen定理，表明基本范畴在有向同伦下保持不变，并表明在局部预序空间中，诸如并列化等余极限无法捕捉某些几何实现，因此需要更广泛的框架，如d-空间或d-度量空间。

ABSTRACT

Directed Algebraic Topology is beginning to emerge from various applications. The basic structure we shall use for such a theory, a 'd-space', is a topological space equipped with a family of 'directed paths', closed under some operations. This allows for 'directed homotopies', generally non reversible, represented by a cylinder and cocylinder functors. The existence of 'pastings' (colimits) yields a geometric realisation of cubical sets as d-spaces, together with homotopy constructs which will be developed in a sequel. Here, the 'fundamental category' of a d-space is introduced and a 'Seifert - van Kampen' theorem proved; its homotopy invariance rests on 'directed homotopy' of categories. In the process, new shapes appear, for d-spaces but also for small categories, their elementary algebraic model. Applications of such tools are briefly considered or suggested, for objects which model a directed image, or a portion of space-time, or a concurrent process.

研究动机与目标

• 为具有特权方向的空間（如时空模型或并发过程）發展有向同倫理論。
• 將d-空間的基本范畴定義為基本群胚的不可逆推廣。
• 證明可用餘極限計算基本范畴的有向Seifert–van Kampen定理。
• 表明標準範疇（如局部預序空間）缺乏足夠的餘極限結構，無法建模某些幾何實現，因而需要d-空間。
• 透過新的d-同倫概念，建立基本范畴在有向同倫下的不變性。

提出的方法

• 將d-空間定義為配備有在重參數化與併接下封閉的有向路徑族的拓撲空間。
• 引入柱子與路徑函子（↑I(X) = X×↑I 和 ↑P(X) = X↑I）以建模有向同倫。
• 發展兩種同倫等價關係：d-同倫與可逆d-同倫，後者等價於範疇等價。
• 使用粘合構造（餘極限）將立方體集幾何實現為d-空間，從而支援同倫構造。
• 應用有向van Kampen定理，透過dTop中的推出計算基本範疇。
• 透過雙拓撲結構建立d-度量空間與d-空間的關聯，表明d-度量空間是d-度量可實現的。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何將基本群胚推廣至不可逆設定（如併發過程或時空模型）？
• RQ2 何種條件可確保d-空間的基本範疇在有向同倫下保持不變？
• RQ3 所有立方體集的幾何實現是否都能嵌入局部預序空間的範疇中？
• RQ4 餘極限（如並列化）在d-空間的同倫理論中扮演何種角色？為何它們在局部預序範疇中失效？
• RQ5 d-度量空間與d-空間之間有何關係？它們能否作為有向同倫的模型？

主要发现

• d-空間的基本範疇↑Π1(X)在（雙）點d-同倫下保持不變，推廣了經典基本群胚的不變性。
• 建立了有向Seifert–van Kampen定理，使↑Π1(X)能透過餘極限構造計算。
• 在dTop中，兩個有向區間的並列化構成有向圓↑S1，但該構造無法在局部預序空間範疇（lpTop）中實現，證明lpTop缺乏足夠的餘極限結構。
• 具有非退化1-立方體a, b與2-立方體w的立方體集K的有向實現↑R(K)不是局部預序的，表明d-空間的必要性超越lpTop。
• d-度量空間（具非對稱距離者）是d-度量可實現的，且能透過dMtr中的並列化，用來建模標準有向空間如↑R, ↑I, ↑S1, 和↑Sn。
• 在一點x處的基本單子↑π1(X, x)通常攜帶少於完整基本範疇的資訊，強調了範疇層級結構的重要性。