[论文解读] Directed random graphs with given degree distributions

Ningyuan Chen, Mariana Olvera‐Cravioto|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2012

Gene expression and cancer classification被引用 4

一句话总结

本文提出了一种方法，通过构建具有相等入度和出度总和的近乎独立同分布的度序列，再应用有向配置模型，生成具有指定入度和出度分布的简单有向随机图。证明表明，在方差有限的条件下，获得简单图的概率保持远离零，且在给定图简单的条件下，随着图规模增大，经验度分布几乎必然收敛到目标分布。

ABSTRACT

Given two distributions F and G on the nonnegative integers we propose an algorithm to construct in- and out-degree sequences from samples of i.i.d. observations from F and G, respectively, that with high probability will be graphical, that is, from which a simple directed graph can be drawn. We then analyze a directed version of the configuration model and show that, provided that F and G have finite variance, the probability of obtaining a simple graph is bounded away from zero as the number of nodes grows. We show that conditional on the resulting graph being simple, the in- and out-degree distributions are (approximately) F and G for large size graphs. Moreover, when the degree distributions have only finite mean we show that the elimination of self-loops and multiple edges does not significantly change the degree distributions in the resulting simple graph.

研究动机与目标

• 开发一种生成具有预设入度和出度分布的简单有向随机图的方法。
• 通过平衡其总和并保持近似独立同分布采样特性，确保入度和出度序列以高概率为图序列。
• 分析有向配置模型，并表明生成的简单图在渐近意义上保持目标度分布。
• 建立在移除自环和多重边后，度分布仍近似不变的条件。

提出的方法

• 从目标分布 F 和 G 中独立同分布地采样入度和出度序列，然后通过残差平衡技术调整，以确保总和相等。
• 通过随机配对入度端点和出度端点来应用有向配置模型，形成有向边。
• 使用拒绝采样方法或边删除过程，以消除自环和多重边，确保最终图是简单图。
• 证明当 F 和 G 具有有限方差时，获得简单图的概率在 n → ∞ 时保持远离零。
• 使用集中不等式和条件概率界分析边删除对度分布的影响。
• 运用概率论工具，包括大数定律、有界收敛定理和 Fatou 引理，建立经验度分布的渐近收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否使用一种可计算且可扩展的算法，生成具有指定入度和出度分布的简单有向随机图？
• RQ2 当节点数增加时，通过随机配对获得简单图的概率在何种条件下保持远离零？
• RQ3 移除自环和多重边是否显著改变最终图的入度和出度分布？
• RQ4 最终生成的简单图中，经验入度和出度分布与目标分布 F 和 G 的接近程度如何？

主要发现

• 当入度分布 F 和出度分布 G 具有有限方差时，通过有向配置模型生成简单图的概率在 n → ∞ 时保持远离零。
• 在图是简单的条件下，随着节点数增加，经验入度和出度分布以几乎必然的方式收敛到目标分布 F 和 G。
• 即使仅假设具有有限均值，最终简单图中的度分布经边删除后仍近似不变，且节点度改变超过 1 的概率随 n 增大而趋于零。
• 该方法通过平衡入度和出度总和并保持近似独立同分布采样特性，以高概率确保构造的度序列为图序列。
• 通过概率界（包括 Fatou 引理和集中不等式）建立了经验度分布向目标分布的收敛性。