[论文解读] Directed Regular and Context-Free Languages

Ganardi, Moses, Irmak Sağlam+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Formal Methods in Verification被引用 1

一句话总结

本文提出了一种用于解决具有强过渡公平性约束的奇数玩家的奇公平Zielonka算法，在保持经典Zielonka算法最坏情况时间复杂度的同时，实现了高效的实用性能。此外，通过策略模板形式化了奇数玩家的获胜策略，证明了其存在性并支持正确性证明，填补了公平双人博弈理论中的关键空白。

ABSTRACT

This paper discusses the problem of efficiently solving parity games where player Odd has to obey an additional 'strong transition fairness constraint' on its vertices -- given that a player Odd vertex $v$ is visited infinitely often, a particular subset of the outgoing edges (called live edges) of $v$ has to be taken infinitely often. Such games, which we call 'Odd-fair parity games', naturally arise from abstractions of cyber-physical systems for planning and control. In this paper, we present a new Zielonka-type algorithm for solving Odd-fair parity games. This algorithm not only shares 'the same worst-case time complexity' as Zielonka's algorithm for (normal) parity games but also preserves the algorithmic advantage Zielonka's algorithm possesses over other parity solvers with exponential time complexity. We additionally introduce a formalization of Odd player winning strategies in such games, which were unexplored previous to this work. This formalization serves dual purposes: firstly, it enables us to prove our Zielonka-type algorithm; secondly, it stands as a noteworthy contribution in its own right, augmenting our understanding of additional fairness assumptions in two-player games.

研究动机与目标

• 开发一种高效算法，用于求解奇公平保真游戏，其中奇数玩家必须在访问顶点的特定出边处满足强过渡公平性。
• 解决公平双人博弈中奇数玩家策略缺乏形式化理解的问题，这些策略是非位置性的，且比偶数玩家策略更复杂。
• 通过新颖的奇数获胜策略形式化，证明所提出的奇公平Zielonka算法的正确性。
• 证明该算法在实际应用中与经典Zielonka算法性能相当，尽管增加了公平性约束。

提出的方法

• 通过在吸引子和基于优先级的分解步骤中引入公平性约束，将Zielonka的递归算法扩展以处理奇公平保真游戏。
• 引入策略模板作为奇数玩家获胜策略的形式化，捕捉在公平性约束下必须无限重复的活跃边。
• 使用嵌套的不动点刻画来定义获胜区域，并推导出算法的递归结构。
• 通过构造性证明表明，存在能够从奇数玩家获胜区域中所有顶点获胜的策略模板。
• 在原型中实现该算法，并在基准实例上进行评估，与固定点算法和经典Zielonka求解器进行比较。
• 通过跟踪活跃边的访问次数，对经典Zielonka递归进行适应，确保对某个顶点的无限访问意味着其活跃边的无限遍历。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Zielonka型算法适配以求解奇公平保真游戏，同时保持与经典保真游戏相同的最坏情况时间复杂度？
• RQ2 在强过渡公平性存在的情况下，奇数玩家获胜策略的形式结构是什么？
• RQ3 如何对奇数玩家策略进行形式化，以支持公平性感知求解器的正确性证明？
• RQ4 所提出的算法在存在公平性约束的情况下，是否能实现与经典Zielonka算法相当的实际效率？
• RQ5 能否为奇公平保真游戏构造性地证明策略模板的存在性？

主要发现

• 奇公平Zielonka算法在实际应用中与经典Zielonka算法性能相当，所有测试基准实例的运行时间均与原始算法相近。
• 该算法保持了与经典Zielonka算法相同的最坏情况时间复杂度（即指数级），并与先前工作中固定点算法的复杂度一致。
• 原型实现表明，对于较大实例（如lilydemo17和lilydemo18），奇公平Zielonka算法优于符号化固定点方法，后者在这些实例上超时。
• 本文首次通过策略模板形式化了奇数玩家的获胜策略，证明了其存在性，并支持了正确性证明。
• 该算法正确处理了公平性约束：在所有测试实例中，奇数玩家的获胜区域均被正确识别，无误报或漏报。
• 对于包含3102个节点和5334条边的lilydemo17实例，奇公平Zielonka算法在24秒内完成（50%活跃度），而固定点方法超时。