[论文解读] Directional derivatives and subdifferentials of set-valued convex functions

Andreas H. Hamel, Carola Schrage|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2012

Optimization and Variational Analysis参考文献 12被引用 9

一句话总结

本文通过在闭凸集空间中使用一种剩余运算（residuation operation），为集值凸函数引入了一种新颖的方向导数和次微分，从而实现了集值的最大值公式（max-formula），并刻画了具有集值目标函数的凸优化问题的解。该方法通过避免对序锥的严格假设，推广了经典凸分析，并可扩展至非正常扩展实值函数的情形。

ABSTRACT

A new directional derivative and a new subdifferential for set-valued convex functions are constructed, and a set-valued version of the so-called 'max-formula' is proven. The new concepts are used to characterize solutions of convex optimization problems with a set-valued objective. As a major tool, a residuation operation is used which acts in a space of closed convex, but not necessarily bounded subsets of a topological linear space. The residuation serves as a substitute for the inverse addition and is intimately related to the Minkowski or geometric difference of convex sets. The results, when specialized, even extend those for extended real-valued convex functions since the improper case is included.

研究动机与目标

• 为集值凸函数发展一种新的方向导数与次微分理论，以克服现有方法的局限性。
• 建立集值版本的最大值公式，以类似于标量凸分析的方式，将方向导数与次微差联系起来。
• 利用新的导数概念，刻画具有集值目标函数的凸优化问题的解。
• 将经典凸分析结果推广至集值情形，包括非正常情形，且无需假设序锥为 pointed 或 generating。
• 提出一种集值优化的解概念，通过广义平移可将解集约化为单点集。

提出的方法

• 在拓扑线性空间的闭凸子集空间中引入一种剩余运算，作为向量减法的替代，从而定义差商。
• 基于剩余运算的增量概念，定义集值凸函数的方向导数与次微分，推广经典导数概念。
• 使用对偶变量作为由连续线性泛函对生成的简单集值函数，避免使用算子值对偶。
• 将闵可夫斯基（几何）差作为剩余运算的特例，建立与现有集论运算的新联系。
• 通过引入函数 $\hat{f}(\cdot; M)$，即对每个 $x$ 映射到 $f(x + m)$ 在 $m \in M$ 上的下确界，将理论应用于集值优化，并证明当 $M$ 被其凸包替换时，该函数为凸函数。
• 通过条件 $0 \in \bigcap_{z^* \in \Gamma^-(f)} \partial_{z^*} \hat{f}(\cdot; \mathrm{co}\,M)(0)$，利用方向导数与次微分刻画下确界点，将解的存在性与次微分包含联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当标准向量减法不可用时，如何为集值凸函数一致地定义方向导数与次微分？
• RQ2 在缺乏 pointed 或 generating 序锥的条件下，能否建立集值版本的最大值公式（即方向导数与次微分之间的关系）？
• RQ3 具有集值目标函数的凸优化问题的适当解概念是什么？如何通过新导数概念进行刻画？
• RQ4 剩余运算与闵可夫斯基差之间有何关系？它能否作为集值分析中的基础工具？
• RQ5 在何种条件下，可通过广义平移将集值优化中的解集约化为单点集？

主要发现

• 在闭凸集空间中的剩余运算为向量减法提供了良好定义的替代，从而可构造差商及其极限作为方向导数。
• 证明了一项新最大值公式：对于正规凸集值函数，某点的方向导数等于次微分的支撑函数，推广了标量情形。
• 集值凸函数 $f$ 的下确界集 $M$ 存在，当且仅当 $\hat{f}(0; M) = \hat{f}(0; \mathrm{co}\,M)$ 且 $0 \in \bigcap_{z^* \in \Gamma^-(f)} \partial_{z^*} \hat{f}(\cdot; \mathrm{co}\,M)(0)$，通过次微分实现了解的完整刻画。
• 该理论可扩展至非正常情形（如扩展实值函数），且无需对序锥施加 pointed、normality 或非空内部等限制性假设。
• 函数 $\hat{f}(\cdot; M)$（定义为 $f$ 在 $M$ 上的下确界卷积）在 $M$ 被其凸包替换时为凸函数，从而可应用凸分析工具。
• 在示例中，$M = \{(0,0), (1,0), (0,1)\}$ 是 $f$ 的一个下确界集，且对所有满足 $w_1 = w_2$ 的 $w \in C^{-} \setminus \{0\}$，方向导数条件成立，验证了理论刻画的正确性。