[论文解读] Dirichlet forms and critical exponents on fractals

Qingsong Gu, Ka‐Sing Lau|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文提出一种新颖的框架，用于在非均匀p.c.f.分形的Besov空间中分析临界指数，采用商网络方法，揭示了非对称自相似集存在两个不同的临界指数σ*和σ#。研究发现σ* < σ#的情况可能发生，挑战了标准分形中两者相等的常规认知，并证明了在构造的非对称集合上，B²,∞σ*在C(K)中非稠密。

ABSTRACT

Let $B^σ_{2, \infty}$ denote the Besov space defined on a compact set $K \subset {\Bbb R}^d$ which is equipped with an $α$-regular measure $μ$. The {\it critical exponent} $σ^*$ is the supremum of the $σ$ such that $B^σ_{2, \infty} \cap C(K)$ is dense in $C(K)$. It is well-known that for many standard self-similar sets $K$, $B^{σ^*}_{2, \infty}$ are the domain of some local regular Dirichlet forms. In this paper, we explore new situations that the underlying fractal sets admit inhomogeneous resistance scalings, which yield two types of critical exponents. We will restrict our consideration on the p.c.f. sets. We first develop a technique of quotient networks to study the general theory of these critical exponents. We then construct two asymmetric p.c.f. sets, and use them to illustrate the theory and examine the function properties of the associated Besov spaces at the critical exponents; the various Dirichlet forms on these fractals will also be studied.

研究动机与目标

• 研究在具有非均匀电阻尺度的非均匀p.c.f.分形上，Besov空间B²,∞σ中的临界指数σ*和σ#的行为。
• 开发一种商网络技术，用于分析具有非对称结构的p.c.f.分形上的能量形式与电阻尺度。
• 构造显式例子，展示在非对称p.c.f.集合中σ* < σ#成立，挑战标准假设σ* = σ#。
• 研究临界指数处Besov空间的函数性质，以及此类分形上局部正则Dirichlet形式的存在性。

提出的方法

• 引入商网络方法，通过压缩子结构来建模p.c.f.分形上的电阻尺度，并分析边界点上的诱导电阻。
• 使用Vj上的离散能量形式Ej[u]表示原始能量，其中Ej[u] ∼ ρ^(−(2σ−α)j) [u]²_{B²,∞σ}，当2σ > α时成立。
• 将临界指数σ*定义为sup{σ : B²,∞σ ∩ C(K)在C(K)中稠密}，σ#定义为sup{σ : B²,∞σ包含非平凡函数}。
• 构造两个具有不同电阻尺度的非对称p.c.f.分形集合，以展示σ* < σ#的情形。
• 分析能量形式在边界点上的迹，并利用递归电阻尺度推导能量序列的渐近行为。
• 应用非强连通图导向迭代函数系统来建模具有混合尺度行为的分形，通过Perron-Frobenius特征值推导盒维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有非均匀电阻尺度的p.c.f.分形上，临界指数σ*和σ#是否可能不同？
• RQ2 在非对称p.c.f.分形上，Besov空间B²,∞σ*表现出何种函数性质，特别是其在C(K)中的稠密性？
• RQ3 商网络技术如何实现对非均匀分形上能量与电阻尺度的分析？
• RQ4 当σ > σ*时，B²,∞σ在何种条件下包含非平凡函数？
• RQ5 图导向IFS中非强连通分量在生成具有不同Hausdorff维数和无限测度的分形中起什么作用？

主要发现

• 在构造的非对称p.c.f.分形中，σ* < σ#成立，表明临界指数可以不同，与对称分形中常见的相等性相矛盾。
• Besov空间B²,∞σ*在C(K)中非稠密，通过证明B²,∞σ*中的任意函数必须在某些方向（例如沿p₁p₃）为常数，从而违反稠密性。
• 能量序列{7^n E_n[u]}对u ∈ B²,∞σ*有界，意味着u必须沿p₁p₃方向为常数，这与C(K)中的稠密性矛盾。
• 对于λ₁ = λ₂的非强连通图导向系统，盒维数仍为α = log λ / |log ρ|，但H^α(E_i) = ∞，表明Hausdorff测度为无穷。
• 邻接矩阵T的最大特征值λ决定盒维数α = log λ / |log ρ|，且当i属于强连通分量时，N_i(n) ∼ λ^n。
• 当λ₁ ≠ λ₂时，i属于较大特征值分量的N_i(n) ∼ λ^n，盒维数仍为α = log λ / |log ρ|，即使在λ₁ = λ₂时测度为无穷。