[论文解读] Dirichlet heat kernel estimates for fractional Laplacian under non-local perturbation

Zhen-Qing Chen, Ting Yang|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文为有界 $C^{1,1}$ 域中非局部算子 $\sigma^{b} = \Delta^{\alpha/2} + \mathcal{S}^{b}$ 的狄利克雷热核建立了精确的双边估计，其中 $\mathcal{S}^{b}$ 是分数阶拉普拉斯算子的非局部扰动。关键结果是对转移密度 $p^{b}_{D}(t,x,y)$ 的精确渐近估计，表明其行为类似于 $e^{-\lambda_{1}t}(1\wedge\delta_{D}(x)^{\alpha/2})(1\wedge\delta_{D}(y)^{\alpha/2})$，其中 $\lambda_{1}$ 是算子在 $D$ 上的生成元的第一特征值，且在扰动核具有温和正性条件下成立。

ABSTRACT

For $d\ge 2$ and $0\varepsilon\}} (f(x+z)-f(x))\frac{b(x,z)}{|z|^{d+β}}\,dz, $$ and $b(x,z)$ is a bounded measurable function on $\mathbb{R}^{d} imes\mathbb{R}^{d}$ with $b(x,z)=b(x,-z)$ for every $x,z\in\mathbb{R}^{d}$. Here ${\cal A}(d, -β)$ is a normalizing constant so that $\mathcal{S}^b=-(-Δ)^{β/2}$ when $b(x, z)\equiv 1$. It was recently shown in Chen and Wang [arXiv:1312.7594 [math.PR]] that when $b(x, z) \geq -\frac{\mathcal{A}(d, -α)} {\mathcal{A}(d, -β)}\, |z|^{β-α}$, then $\mathcal{L}^b$ admits a unique fundamental solution $p^b(t, x, y)$ which is strictly positive and continuous. The kernel $p^b(t, x, y)$ uniquely determines a conservative Feller process $X^b$, which has strong Feller property. The Feller process $X^b$ is also the unique solution to the martingale problem of $(\mathcal{L}^b, \mathcal{S}(\mathbb{R}^d))$, where $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ denotes the space of tempered functions on $\mathbb{R}^d$. In this paper, we are concerned with the subprocess $X^{b,D}$ of $X^{b}$ killed upon leaving a bounded $C^{1,1}$ open set $D\subset \mathbb{R}^d$. We establish explicit sharp two-sided estimates for the transition density function of $X^{b, D}$.

研究动机与目标

• 推导有界 $C^{1,1}$ 域中非局部算子 $\mathcal{L}^{b} = \Delta^{\alpha/2} + \mathcal{S}^{b}$ 的狄利克雷热核的精确双边估计。
• 建立在吸收过程退出此类域时的转移密度 $p^{b}_{D}(t,x,y)$ 的存在性与正则性。
• 利用热核估计，对有界 $C^{1,1}$ 域中 $\mathcal{L}^{b}$ 的格林函数获得显式界。
• 分析 $\mathcal{L}^{b}$ 在有界域上的谱性质，特别是第一特征值 $\lambda_{1}$ 及其在热核长时间行为中的作用。

提出的方法

• 分析依赖于在 $\mathbb{R}^d$ 上全生成元 $\mathcal{L}^{b}$ 存在严格正且关于时间与空间联合连续的基本解 $p^{b}(t,x,y)$ 的事实，该结果已在先前工作中建立。
• 狄利克雷热核 $p^{b}_{D}(t,x,y)$ 定义为吸收过程 $X^{b,D}$ 在退出有界 $C^{1,1}$ 域 $D$ 时被杀死的转移密度。
• 通过使用 Chapman-Kolmogorov 方程、区域单调性以及对全空间核 $p^{b}(t,x,y)$ 的已知估计，推导出 $p^{b}_{D}(t,x,y)$ 的精确双边估计。
• 该方法涉及将转移密度在时间区间上分解，并应用 Hölder 不等式以及先前估计中的上下界。
• 利用与 $\mathcal{L}^{b,D}$ 的第一特征值 $\lambda_{1}$ 相关的特征函数 $\phi$，推导出 $\lambda_{1}$ 的界，并将热核的长时间衰减与 $e^{-\lambda_{1}t}$ 关联起来。
• 最终估计通过结合边界行为 $1\wedge\delta_{D}(x)^{\alpha/2}$ 与指数衰减 $e^{-\lambda_{1}t}$ 得到，利用谱间隙与特征函数的正性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界 $C^{1,1}$ 域 $D$ 中，非局部算子 $\mathcal{L}^{b} = \Delta^{\alpha/2} + \mathcal{S}^{b}$ 的狄利克雷热核 $p^{b}_{D}(t,x,y)$ 的精确双边估计是什么？
• RQ2 通过有界对称核 $b(x,z)$ 定义的扰动 $\mathcal{S}^{b}$ 如何影响转移密度及其长时间衰减行为？
• RQ3 热核对边界距离 $\delta_{D}(x)$ 与 $\delta_{D}(y)$ 的精确依赖关系是什么？
• RQ4 生成元 $\mathcal{L}^{b,D}$ 的第一特征值 $\lambda_{1}$ 如何与热核的长时间渐近行为相关联？
• RQ5 能否利用热核估计对 $D$ 中 $\mathcal{L}^{b}$ 的格林函数实现精确估计？

主要发现

• 狄利克雷热核 $p^{b}_{D}(t,x,y)$ 满足精确双边估计 $p^{b}_{D}(t,x,y) \asymp e^{-\lambda_{1}t}(1\wedge\delta_{D}(x)^{\alpha/2})(1\wedge\delta_{D}(y)^{\alpha/2})$，对所有 $t>0$ 和 $x,y\in D$ 成立，其中 $\lambda_{1}$ 是 $\mathcal{L}^{b,D}$ 的第一特征值。
• 第一特征值 $\lambda_{1}$ 为正，且在 $d$、$\alpha$、$\beta$、$D$、$A$ 和 $M$ 的依赖下，一致远离零与无穷大，确保时间上的指数衰减。
• 对 $p^{b}_{D}(t,x,y)$ 的下界在 $t \in (T,\infty)$ 与 $|x-y| < 4\varepsilon(A)/5$ 上一致成立，常数 $C_{38}$ 依赖于 $d$、$\alpha$、$\beta$、$D$、$A$、$M$ 与 $T$，且估计中包含 $e^{-\lambda^{b,D_{x}\cup D_{y}}_{1}t}\delta_{D}(x)\delta_{D}(y)$。
• 与 $\lambda_{1}$ 相关的特征函数 $\phi$ 满足 $c_{2}^{-1}e^{-\lambda_{1}} \leq \phi(x) \leq c_{2}e^{-\lambda_{1}}(1\wedge\delta_{D}(x)^{\alpha/2})$，表明其边界衰减恰好为 $\delta_{D}(x)^{\alpha/2}$。
• $\mathcal{L}^{b}$ 在 $D$ 中的格林函数具有直接由热核界导出的精确双边估计，其行为与 $\delta_{D}(x)^{\alpha/2}\delta_{D}(y)^{\alpha/2}$ 一致。
• 在条件 $b(x,z) \geq -\frac{\mathcal{A}(d,-\alpha)}{\mathcal{A}(d,-\beta)}|z|^{\beta-\alpha}$ 下，估计具有鲁棒性，确保相关费勒过程 $X^{b}$ 的正性与保守性。