[论文解读] Dirichlet-Neumann Waveform Relaxation Method for the 1D and 2D Heat and Wave Equations in Multiple subdomains

Martin J. Gander, Félix Kwok+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 14被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种用于求解一维和二维热方程与波动方程的狄利克雷-诺伊曼波形松弛（DNWR）方法，采用空间-时间非重叠域分解，通过在子域上交替使用狄利克雷和诺伊曼边界条件进行迭代求解。对于热方程，在有限时间窗口内，当松弛参数 θ=1/2 时，证明了超线性收敛；对于波动方程，在类似条件下实现了有限步收敛，且收敛速度优于优化的施瓦茨波形松弛方法。

ABSTRACT

We present a Waveform Relaxation (WR) version of the Dirichlet-Neumann algorithm, formulated specially for multiple subdomains splitting for general parabolic and hyperbolic problems. This method is based on a non-overlapping spatial domain decomposition, and the iteration involves subdomain solves in space-time with corresponding interface condition, and finally organize an exchange of information between neighboring subdomains. Using a Fourier-Laplace transform argument, for a particular relaxation parameter, we present convergence analysis of the algorithm for the heat and wave equations. We prove superlinear convergence for finite time window in case of the heat equation, and finite step convergence for the wave equation. The convergence behavior however depends on the size of the subdomains and the time window length on which the algorithm is employed. We illustrate the performance of the algorithm with numerical results, and show a comparison with classical and optimized Schwarz WR methods.

研究动机与目标

• 将狄利克雷-诺伊曼波形松弛（DNWR）方法从两个子域扩展到多个子域，适用于抛物型和双曲型PDE。
• 利用傅里叶-拉普拉斯变换分析DNWR方法在1D热方程和波动方程中的收敛行为。
• 将DNWR框架推广至二维波动方程，并通过数值实验验证其收敛性质。
• 从收敛速度和计算成本两方面，比较DNWR与优化的施瓦茨波形松弛（SWR）及诺伊曼-诺伊曼WR（NNWR）方法的性能。
• 在子域使用非均匀时间网格和界面处波速不连续的情况下，展示DNWR的鲁棒性。

提出的方法

• 采用子域界面处交替使用狄利克雷和诺伊曼条件的非重叠空间-时间域分解方法。
• 迭代求解子域问题：首先在界面处施加狄利克雷条件，然后施加诺伊曼条件，基于有限时间窗口进行波形松弛。
• 引入松弛参数 θ ∈ (0,1] 以稳定并加速收敛，其中 θ=1/2 被证明对热方程和波动方程均能实现最优收敛。
• 采用傅里叶-拉普拉斯变换分析推导1D热方程和波动方程的收敛速率。
• 通过有限差分空间半离散化和非均匀时间步长的数值实现，验证理论结果。
• 在使用非均匀时间网格时，采用时间投影技术实现子域间数据交换，通过类似归并排序的算法确保线性复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有多个子域和有限时间窗口的1D热方程，DNWR方法的收敛行为如何？
• RQ2 DNWR方法是否能在时间窗口和子域大小满足何种条件下实现1D波动方程的有限步收敛？
• RQ3 DNWR方法如何推广至二维波动方程？其收敛特性如何？
• RQ4 与优化的施瓦茨波形松弛（SWR）和诺伊曼-诺伊曼WR（NNWR）相比，DNWR在收敛速度和计算成本方面表现如何？
• RQ5 当子域使用非均匀时间网格且界面处波速不连续时，DNWR能否保持收敛性和稳定性？

主要发现

• 对于1D热方程，在有限时间窗口 T 内，当 T ≤ kh_min/c 时，采用松弛参数 θ=1/2 可证明实现超线性收敛。
• 对于1D波动方程，当 T ≤ kh_min/c 且 θ=1/2 时，最多两步迭代内即可实现有限步收敛。
• 在二维波动方程中，当 T < kh_min/c 时，DNWR方法可实现有限步收敛，其行为与一维情况相似。
• 数值结果表明，DNWR的收敛速度优于优化的施瓦茨波形松弛（SWR），尤其在高维情况下更为显著。
• 虽然NNWR的收敛速度优于DNWR，但其每步迭代的计算成本接近DNWR的两倍，因其需为每个子域求解狄利克雷和诺伊曼子问题。
• 在非均匀时间网格和不连续波速条件下，DNWR方法仍保持有效，T=2时在三步迭代内实现收敛。