[论文解读] Dirichlet series associated to cubic fields with given quadratic resolvent

Henri Cohen, Frank Thorne|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 13

一句话总结

本文为具有给定二次互反域的三次域计数提供了一个显式的狄利克雷级数公式，利用特征和与ℚ上的射影类群结构。关键贡献是涉及三次域判别式−D/3、−3D和−27D的欧拉乘积的闭式表达式，使得通过PARI/GP实现可高效计算判别式达10²³的S₃六次域。

ABSTRACT

Let k be a quadratic field. We give an explicit formula for the Dirichlet series enumerating cubic fields whose quadratic resolvent field is isomorphic to k. Our work is a sequel to previous work of Cohen and Morra, where such formulas are proved in a more general setting, in terms of sums over characters of certain groups related to ray class groups. In the present paper we carry the analysis further and prove explicit formulas for these Dirichlet series over Q. In a companion paper we do the same for quartic fields having a given cubic resolvent. As an application (not present in the initial version), we compute tables of the number of S_3-sextic fields E with |Disc(E)| < X, for X ranging up to 10^23. An accompanying PARI/GP implementation is available from the second author's website.

研究动机与目标

• 推导出关于具有固定二次互反域ℚ(√D)的三次域K的狄利克雷级数∑|Disc(K)|⁻ˢ的显式公式。
• 将先前工作中的一般特征和公式简化为在ℚ上可计算的显式形式。
• 将该公式应用于枚举伽罗瓦群为S₃（在ℚ上伽罗瓦的）S₃六次域，直至较大的判别式界限。
• 提供PARI/GP实现，以高效计算这些计数，并与现有理论和数值数据进行验证。

提出的方法

• 通过在射影类群上的特征和，推导出具有二次互反域ℚ(√D)的三次域K的显式狄利克雷级数Φ_D(s) = 1/2 + ∑ f(K)⁻ˢ。
• 应用库默尔理论和二次型（Ohno, Nakagawa）的结果，将该级数与素数上的欧拉乘积联系起来。
• 通过判别式为−D/3、−3D和−27D的三次域引入校正项，以完成乘积结构。
• 利用恒等式Disc(Ẽ) = Disc(k)³ f(K)⁴，将三次域数据与S₃六次域的判别式关联起来。
• 通过解析Belabas的三次域表格并在PARI/GP中实现，将部分级数求和至(X/D³)¹⁴。
• 通过与已知渐近公式及N⁺(X;S₃)和N⁻(X;S₃)的先前计算结果比较，验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在ℚ上将具有固定二次互反域的三次域的一般特征和公式显式化，从而避免抽象群论构造？
• RQ2 具有二次互反域ℚ(√D)的狄利克雷级数Φ_D(s)的精确结构是什么？它与相关判别式下三次域的关系如何？
• RQ3 如何高效实现此类公式，以计算有界判别式的S₃六次域数量？
• RQ4 在X = 10²³范围内，计数函数N⁺(X;S₃)和N⁻(X;S₃)的数值行为如何？与理论预测相比有何表现？

主要发现

• 本文推导出Φ_D(s)的显式公式，其为素数p ≡ 1 mod 6上的乘积，外加与判别式为−D/3、−3D和−27D的三次域相关的欧拉因子。
• 该公式可计算满足|Disc(Ẽ)| < X的S₃六次域Ẽ的数量，直至X = 10²³，结果在X = 10¹²至3×10²³范围内列成表格。
• 对于正判别式，N⁺(X;S₃)在X = 10²³时达到5,207,310；对于负判别式，N⁻(X;S₃)在X = 10²³时达到16,399,890。
• 使用Belabas的三次域表格和自定义解析器的PARI/GP实现，负判别式耗时约3小时，正判别式耗时约10小时。
• 计算结果与理论渐近公式N±(X;S₃) ∼ B±X¹³一致，并与Taniguchi和Thorne的前期工作相符，支持存在阶为X⁵¹⁸的二级项。
• 该方法高效且可扩展，通过直接集成Belabas的代码，未来可推广至X = 10²⁷。