[论文解读] Discontinuities of the minimizers of the weighted or anisotropic total variation for image reconstruction

Khalid Jalalzai|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2014

Numerical methods in inverse problems参考文献 28被引用 8

一句话总结

本文研究了加权和各向异性总变差模型在图像去噪中极小化元的规律性与不连续性结构。研究证明，尽管光滑各向异性总变差能保持原有不连续性（扩展了先前结果），但Lipschitz连续的权重却可能引入原始图像中不存在的新不连续性，同时伴随跳跃高度的降低——这一反直觉现象通过极小曲面理论和数值模拟得到验证。

ABSTRACT

The study of the regularity of the minimizer of the weighted anisotropic total variation with a general fidelity term is at the heart of this paper. We generalized some recent results on the inclusion of the discontinuities of the minimizer of the image denoising problem. In particular, we proved that for well-chosen weights and anisotropies, it is actually possible to create discontinuities that were not contained in the original image. We also observed a reduced jump property at the discontinuities of the minimizer. To prove these results we used some regularity theorems for minimal surfaces that we had to adapt to our setting. We also illustrated our theoretical results with several numerical simulations.

研究动机与目标

• 将先前关于总变差去噪中不连续性保持性的结果推广至加权和各向异性能量模型。
• 研究不连续性是否可能通过最小化过程被全新生成，特别是在非光滑权重下。
• 分析最小化过程中不连续性处跳跃高度的行为，尤其是反直觉的对比度降低现象。
• 将等周公式和极小曲面正则性技术扩展至非均匀、各向异性和加权总变差设置。
• 为理解不连续性演化及阶梯效应随正则化参数的变化建立理论基础。

提出的方法

• 将极小曲面理论中的正则性定理适配至加权和各向异性总变差泛函的语境。
• 利用等周公式分析极小化元的水平集，通过水平线的接触检测不连续性的生成。
• 应用椭圆PDE正则性结果和几何测度论工具，研究不连续性集合的结构。
• 采用变分公式：最小化 ∫Φ(x,Du) + ∫Ψ(x,u(x))dx，其中Φ光滑且椭圆，Ψ严格凸且强制。
• 证明当权重w(x)为Lipschitz连续时，极小化元可能表现出原始数据g中不存在的不连续性。
• 利用Euler-Lagrange条件和∞-范数估计，比较不同正则化参数λ和μ下的极小化元。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使原始图像中不存在此类不连续性，加权各向异性总变差泛函的最小化过程是否仍可生成不连续性？
• RQ2 在加权TV正则化下，去噪过程中不连续性处的跳跃高度（对比度）是增加还是减少？
• RQ3 极小化元的不连续性集合是否随正则化参数λ单调递减？
• RQ4 等周公式和极小曲面理论能否有效适配至非均匀、各向异性和加权总变差模型，以证明不连续性的包含性？
• RQ5 在一般加权各向异性总变差设置下，水平线和不连续性集合的正则性如何？

主要发现

• 对于光滑椭圆各向异性和一般保真项，极小化元的不连续性包含于原始图像的不连续性之内，推广了Chambolle等人结果。
• 当权重函数w(x)仅为Lipschitz连续时，可生成原始图像g中不存在的新不连续性。
• 在最小化过程中，不连续性处的跳跃高度降低，这一反直觉结果在高度振荡区域尤为显著。
• 跳跃大小超过ε的不连续性集合随正则化参数λ的增加而形成递减序列。
• 不同λ值下极小化元之间差值的∞-范数有界，从而可通过∞-范数估计比较不连续性集合。
• 在加权情况下，可直接证明水平线的正则性，而无需依赖电流理论，采用更简化的途径。