[论文解读] Discontinuous Dynamical Systems: A tutorial on solutions, nonsmooth analysis, and stability

Jorge Cortés|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2009

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 1被引用 401

一句话总结

本文全面介绍了不连续动力系统，提出了定义解、分析非光滑动力学及确保稳定性的严格框架。在广义条件下建立了解的存在性与唯一性结果，引入了Filippov解和集值Lie导数等工具，并为控制、力学和优化中出现的不连续系统分析奠定了基础。

ABSTRACT

This paper considers discontinuous dynamical systems, i.e., systems whose associated vector field is a discontinuous function of the state. Discontinuous dynamical systems arise in a large number of applications, including optimal control, nonsmooth mechanics, and robotic manipulation. Independently of the particular application, one always faces similar questions when dealing with discontinuous dynamical systems. The most basic one is the notion of solution. We begin by introducing the notions of Caratheodory, Filippov and sample-and-hold solutions, discuss existence and uniqueness results for them, and examine various examples. We also give specific pointers to other notions of solution defined in the literature. Once the notion of solution has been settled, we turn our attention to the analysis of stability of discontinuous systems. We introduce the concepts of generalized gradient of locally Lipschitz functions and proximal subdifferential of lower semicontinuous functions. Building on these notions, we establish monotonic properties of candidate Lyapunov functions along the solutions. These results are key in providing suitable generalizations of Lyapunov stability theorems and the LaSalle Invariance Principle. We illustrate the applicability of these results in a class of nonsmooth gradient flows.

研究动机与目标

• 解决不连续向量场中经典解可能不存在时，如何定义有意义解的根本挑战。
• 为非光滑分析构建稳健的理论框架，包括广义导数和集值Lie导数，适用于具有非光滑动力学的系统。
• 在不连续系统中建立稳定性条件，特别是通过适用于非光滑和集值动力学的李雅普诺夫方法。
• 将滑模控制、碰撞力学和最优控制等多样化应用统一并系统化于同一数学形式体系之下。
• 为涉及切换、摩擦、碰撞或不连续反馈的系统的研究人员和实践者提供自包含的参考。

提出的方法

• 通过在不连续点取向量场值的凸包，引入Filippov解概念，以定义不连续向量场的解。
• 应用局部Lipschitz函数和上部集值Lie导数的概念，分析非光滑设置下李雅普诺夫函数的时间导数。
• 对时变系统应用Carathéodory型存在性定理，确保在向量场具有温和正则性条件时解的存在性。
• 引入滑模概念，并通过Filippov凸化方法和广义李雅普诺夫函数分析其稳定性。
• 应用非光滑分析工具，如凸集的距离函数和最小距离函数，以建模接触与碰撞动力学。
• 采用集值映射和微分包含表示具有不连续动力学的系统，实现对混合与非光滑系统的一体化处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 当向量场存在不连续性导致经典解失效时，如何为不连续动力系统定义解？
• RQ2 在存在摩擦或碰撞的情况下，不连续向量场系统中解的存在性与唯一性需满足何种条件？
• RQ3 如何通过广义导数和集值Lie导数将基于李雅普诺夫的稳定性分析扩展至不连续系统？
• RQ4 滑模在具有不连续反馈的系统中起什么作用？其存在性与稳定性如何严格确立？
• RQ5 非光滑分析工具（如局部Lipschitz函数和凸包）在建模与分析恒温器、机器人机械臂或最优控制系统等现实系统方面有哪些应用？

主要发现

• Filippov解概念为不连续系统提供了数学上严谨的轨迹定义方式，解决了经典解失效的问题，如砖块在斜面上的难题。
• 对于由 $\ddot{x} + \operatorname{sign}(x) = 0$ 描述的非光滑谐振子，系统表现出有限时间收敛至平衡点，且在Filippov框架下解存在。
• 在具有不连续反馈的系统中，如一维例子 $\dot{x} = x[(u-1)^2 - (x-1)][(u+1)^2 + (x-2)]$，不存在连续的稳定化反馈，因此必须采用不连续控制律。
• 在温和条件下，Carathéodory解的存在性可被保证：向量场在时间上可测、在状态上连续，且局部本质有界。
• 上部集值Lie导数使得非光滑系统中李雅普诺夫函数的稳定性分析成为可能，从而可推导出渐近稳定性的充分条件。
• 凸函数和局部Lipschitz函数是非光滑分析的基础，因其确保广义梯度的存在性，并在定义不连续系统稳定性准则中至关重要。