[论文解读] Discontinuous Galerkin methods for hyperbolic and advection-dominated problems on surfaces

Andreas Dedner, Pravin Madhavan|arXiv (Cornell University)|May 25, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用 5

一句话总结

该论文将不连续伽辽金（DG）方法扩展至通过水平集投影从背景结构化笛卡尔网格构建的隐式定义曲面上的双曲型与对流主导型问题，采用一种在离散曲面上的跳跃稳定迎风数值通量。在对离散速度场做出若干假设的前提下，证明了最优的先验误差估计，并通过Raviart-Thomas型速度重构方法进行了数值验证，结果表明该方法具有稳定性且无虚假振荡。

ABSTRACT

We extend the discontinuous Galerkin (DG) framework to the analysis of first-order hyperbolic and advection-dominated problems posed on implicitly defined surfaces. The focus will be on the hyperbolic part, which is discretised using a "discrete surface" generalisation of the jump-stabilised upwind flux. A key issue arising in the analysis (which does not appear in the planar setting) is the treatment of the discrete velocity field, choices of which play an important role in the stability of the scheme. We then prove optimal error estimates in an appropriate norm given a number of assumptions on the discrete velocity field, which are then investigated and discussed in more detail. The theoretical results are verified numerically for a number of test problems exhibiting advection-dominated behaviour.

研究动机与目标

• 开发一种用于隐式定义曲面上一阶双曲型与对流主导型PDE的稳定不连续伽辽金方法。
• 解决在曲面上对流主导流场的稳定化挑战，因为标准有限元方法可能产生虚假振荡。
• 将平面域中的跳跃稳定迎风通量推广至基于曲面的DG格式。
• 分析离散速度场近似对格式稳定性和收敛性的影响。
• 在具有陡峭层和曲面几何的基准测试问题上对方法进行数值验证。

提出的方法

• 通过背景结构化笛卡尔网格的水平集投影，构建连续流形Γ的离散曲面近似。
• 采用带有跳跃稳定迎风通量的曲面DG弱形式，将Brezzi等人（2004）的方法推广至曲面问题。
• 利用Raviart-Thomas型插值方法在曲面网格上构造离散速度场，以保持切向性等关键性质并减少散度误差。
• 在对离散速度场（特别是其法向分量和散度）做出假设的前提下，推导出L²范数与DG范数下的最优先验误差估计。
• 采用曲面有限元方法处理Laplace-Beltrami算子，并将其与DG方法结合用于对流项。
• 在离散曲面上进行数值积分，并构造一个一致的双线性形式，以考虑元素边界处解与通量的跳跃。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将不连续伽辽金方法扩展至隐式定义曲面上的双曲型与对流主导型PDE？
• RQ2 与平面区域相比，离散速度场在曲面上引入了哪些关键的稳定性挑战？
• RQ3 对离散速度场的假设如何影响曲面DG格式的收敛性与稳定性？
• RQ4 Raviart-Thomas型插值是否能缓解非零散度与法向分量跳跃等问题？
• RQ5 在曲面上对流主导型问题中，实际可达到的收敛速率与精度如何？

主要发现

• 采用跳跃稳定迎风通量的曲面DG方法在对流主导问题中，于L²范数下达到O(h²)的最优收敛率，在DG范数下达到O(h)的收敛率。
• 数值实验表明，未稳定化的曲面FEM出现全局虚假振荡，而曲面IP/UP方法则保持稳定且无振荡。
• 使用Raviart-Thomas型插值的离散速度场使误差降低约一半，相较于分片常数投影。
• 即使在ε极小（如ε = 10⁻⁶）时，该方法仍保持最优收敛率，证实了其在对流主导区域的鲁棒性。
• 理论误差估计得到数值验证，当速度场满足适当假设时，收敛阶数趋近于预测的渐近速率。
• 该方法在复杂几何（如单位球面）上表现有效，即使存在强对流层，仍能保持稳定与精度。