[论文解读] Discontinuous Galerkin Methods for the Biharmonic Problem on Polygonal and Polyhedral Meshes

Zhaonan Dong|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 34被引用 8

一句话总结

本论文提出了一种针对一般多边形和多面体网格上双调和问题的 $hp$-版本对称内罚间断伽辽金有限元方法（DGFEM），采用物理坐标系下的多项式基 $Π_p$ 而无需参考元映射。该方法在退化面存在的情况下仍能实现最优收敛速率与稳定性，其关键在于为具有任意面数的多面体单元上调和多项式建立了一项新逆不等式。

ABSTRACT

We introduce an $hp$-version symmetric interior penalty discontinuous Galerkin finite element method (DGFEM) for the numerical approximation of the biharmonic equation on general computational meshes consisting of polygonal/polyhedral (polytopic) elements. In particular, the stability and $hp$-version a-priori error bound are derived based on the specific choice of the interior penalty parameters which allows for edges/faces degeneration. Furthermore, by deriving a new inverse inequality for a special class {of} polynomial functions (harmonic polynomials), the proposed DGFEM is proven to be stable to incorporate very general polygonal/polyhedral elements with an \emph{arbitrary} number of faces for polynomial basis with degree $p=2,3$. The key feature of the proposed method is that it employs elemental polynomial bases of total degree $\mathcal{P}_p$, defined in the physical coordinate system, without requiring the mapping from a given reference or canonical frame. A series of numerical experiments are presented to demonstrate the performance of the proposed DGFEM on general polygonal/polyhedral meshes.

研究动机与目标

• 为一般多面体网格上的双调和方程开发一种稳定且最优收敛的 $hp$-版本间断伽辽金方法。
• 在不施加元素形状与面数限制（包括退化 $(d-k)$-维面）的前提下，保持最优收敛性。
• 为满足假设 5.1 的多面体单元上的调和多项式建立新逆不等式，从而在任意面数下实现 $p=2,3$ 的稳定性。
• 通过数值实验验证该方法在高面数与任意元素形状网格上的鲁棒性。
• 提供一种基于无映射的间断物理坐标系多项式基 $Π_p$ 的 $H^2$-协调问题 $hp$-自适应框架。

提出的方法

• 该方法在物理坐标系中直接使用 $\mathcal{P}_p$-型多项式基，避免参考元映射。
• 采用对称内罚弱形式，并精心选择罚参数，以确保在具有退化面的多面体单元上的稳定性。
• 推导出适用于满足假设 5.1 的多面体单元上调和多项式的新型逆不等式，用于将 $H^1$-半范数以 $L^2$-范数有界，这对任意面数下的稳定性至关重要。
• 分析基于两个网格假设：一个为面数一致有界的假设（假设 4.1），另一个为允许任意面数的假设（假设 5.1），后者依赖于新逆不等式。
• 在两种假设下，该方法均被证明具有稳定性与最优收敛性，收敛速率分别为：DG-范数 $\mathcal{O}(h^{p-1})$，破缺 $H^1$-半范数 $\mathcal{O}(h^p)$，$L^2$-范数 $\mathcal{O}(h^{p+1})$（当 $p \geq 3$ 时）。
• 数值实验验证了理论误差界，并确认在包含超过 8,000 个单元且每个单元含数百个面的网格上仍保持稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使对称内罚 DGFEM 在具有退化面的一般多边形/多面体网格上实现双调和问题的最优 $hp$-收敛？
• RQ2 是否可能在具有任意面数的多面体单元上，为基于 $\mathcal{P}_p$ 的 DGFEM 建立 $p=2,3$ 的稳定性？
• RQ3 能否通过为满足最小网格假设的多面体单元上的调和多项式建立新逆不等式，支持此类 DGFEM 的稳定性和收敛性？
• RQ4 该方法在高度不规则、含大量小面的网格上数值表现如何，特别是在条件数与收敛速率方面？
• RQ5 在一般多面体单元上，使用物理坐标系多项式基 $\mathcal{P}_p$ 是否比使用映射后的 $\mathcal{Q}_p$ 基在单位自由度下获得更优的收敛性能？

主要发现

• 所提出的 $hp$-版本对称 IP-DGFEM 在所有 $p \geq 2$ 情况下，随着网格加密，其 DG-范数收敛速率均为 $\mathcal{O}(h^{p-1})$，达到最优。
• 破缺 $H^1$-半范数误差在固定 $p$ 时以最优速率 $\mathcal{O}(h^p)$ 收敛。
• $L^2$-范数误差在 $p \geq 3$ 时以 $\mathcal{O}(h^{p+1})$ 速率收敛；当 $p=2$ 时，收敛速率为 $\mathcal{O}(h^2)$，与已知的次优性一致。
• 为满足假设 5.1 的多面体单元上调和多项式建立的新逆不等式，使得 $p=2,3$ 时在任意面数的单元上均能实现稳定性和最优收敛。
• 数值实验在 $h$-加密与 $p$-加密的多边形网格上均验证了理论收敛速率，包括含超过 8,000 个单元且每个单元含数百个面的网格。
• 即使在含大量小面的高度不规则多面体网格上，DGFEM 的条件数仍与标准网格处于同一数量级，表明其具有良好的数值鲁棒性。