[论文解读] Discontinuous Galerkin methods for the $p$--biharmonic equation from a discrete variational perspective

Tristan Pryer|CentAUR (University of Reading)|Sep 18, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 26被引用 18

一句话总结

本论文提出了一种用于 $p$–双调和方程的不连续伽辽金（dG）有限元方法，基于基于有限元海森矩阵的离散变分格式。该方法确保了离散解和海森矩阵收敛至连续解，对 $p=2$ 证明了最优收敛速率，对 $p>2$ 通过数值实验观察到类似结果，表明该方法在 $p \in (1,\infty)$ 范围内具有鲁棒性和高精度。

ABSTRACT

We study discontinuous Galerkin approximations of the $p$--biharmonic equation from a variational perspective. We propose a discrete variational formulation of the problem based on a appropriate definition of a finite element Hessian and study convergence of the method (without rates) using a weak lower semicontinuity argument. We present numerical experiments aimed at testing the robustness of the method. We also note a superconvergence effect for some values of $p$.

研究动机与目标

• 开发一种稳定且收敛的不连续伽辽金有限元方法，用于 $p$–双调和方程（一种四阶非线性偏微分方程），该方程目前尚无现成的有限元格式。
• 解决在非 conforming、分片光滑有限元空间中近似海森矩阵的挑战，这对四阶问题的变分离散化至关重要。
• 利用弱下半连续性和离散函数分析，建立离散解和海森矩阵收敛至连续解的理论依据。
• 通过数值实验验证该方法在不同 $p$ 值和多项式阶次下的鲁棒性与收敛速率。
• 为将该框架推广至更复杂的二阶变分问题（如基于曲率的 PDE）奠定基础。

提出的方法

• 通过引入表示有限元海森矩阵的辅助变量，构建离散变分格式，实现在变分框架中对海森矩阵的弱强制。
• 采用混合格式，其中海森矩阵在有限元空间中被近似，通过尽可能使用低阶表示来降低计算成本。
• 离散问题由变分原理导出，通过精心设计的数值通量和稳定化项确保一致性和稳定性。
• 利用 [DPE10] 的框架，基于离散 Sobolev 空间中的弱下半连续性和紧致性论证，证明收敛性。
• 通过在分片多项式上使用离散梯度算子定义海森矩阵，实现对海森矩阵的 $C^0$-兼容但不连续的近似。
• 使用 FEniCS/DOLFIN 进行数值实验，结合自适应网格加密，通过引入辅助海森变量求解混合系统，以减少自由度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于离散变分方法，为 $p$–双调和方程构造一种不连续伽辽金方法？
• RQ2 在非 conforming 设置下，如何一致且稳定地近似分片光滑有限元函数的海森矩阵？
• RQ3 离散解和海森矩阵近似的理论与数值收敛速率可被建立为何种程度？
• RQ4 该方法在 $p \in (1,\infty)$ 范围内（包括 $p=2$ 和 $p>2$）是否具有鲁棒性？
• RQ5 该框架能否推广至涉及曲率或更高阶微分算子的更复杂变分问题？

主要发现

• 当 $p=2$ 时，该方法达到最优收敛速率：$\|u - u_h\|_{L^2} = \mathcal{O}(h^2)$（当 $k=2$ 时）以及 $\mathcal{O}(h^{k+1})$（当 $k>2$ 时），其中 $k$ 为多项式阶次。
• 离散海森矩阵的收敛速率为 $\|\Delta u - \mathscr{D}[u_h]\|_{L^p} = \mathcal{O}(h^{k-1})$，与理论预期一致。
• 数值实验验证了 $p=2$、$p=2.1$ 和 $p=10$ 时的理论收敛速率，表明方法对不同非线性程度具有鲁棒性。
• 即使在 $p$ 值远离 2 时，该方法仍保持稳定与收敛，表明其在非线性四阶问题中的广泛适用性。
• 使用低阶有限元空间表示海森矩阵（$\mathbb{W} = \mathbb{P}^{k-1}$）可获得与使用完整 $\mathbb{V}^{d\times d}$ 空间相同的收敛速率，显著提升计算效率。
• 通过引入辅助变量表示海森矩阵，实现存储与计算成本的降低，同时不损失精度或收敛性。