[论文解读] Discontinuous Galerkin schemes for a class of Hamiltonian evolution equations with applications to plasma fluid and kinetic problems

Ammar Hakim, G. W. Hammett+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2019

Magnetic confinement fusion research参考文献 41被引用 7

一句话总结

本文提出了一种能量守恒的混合间断伽辽金（DG）与连续伽辽金（CG）格式，用于等离子体流体和动力学系统中的哈密顿演化方程。该方法通过使用DG格式演化分布函数，同时将哈密顿量约束于连续子空间，从而确保能量守恒；在使用中心数值通量时，可保持$L_2$范数和熵守恒，而使用迎风通量时则实现单调衰减，以保证稳定性。

ABSTRACT

In this paper we present energy-conserving, mixed discontinuous Galerkin (DG) and continuous Galerkin (CG) schemes for the solution of a broad class of physical systems described by Hamiltonian evolution equations. These systems often arise in fluid mechanics (incompressible Euler equations) and plasma physics (Vlasov--Poisson equations and gyrokinetic equations), for example. The dynamics is described by a distribution function that evolves given a Hamiltonian and a corresponding Poisson bracket operator, with the Hamiltonian itself computed from field equations. Hamiltonian systems have several conserved quantities, including the quadratic invariants of total energy and the $L_2$ norm of the distribution function. For accurate simulations one must ensure that these quadratic invariants are conserved by the discrete scheme. We show that using a discontinuous Galerkin scheme to evolve the distribution function and ensuring that the Hamiltonian lies in its continuous subspace leads to an energy-conserving scheme in the continuous-time limit. Further, the $L_2$ norm is conserved if central fluxes are used to update the distribution function, but decays monotonically when using upwind fluxes. The conservation of density and $L_2$ norm is then used to show that the entropy is a non-decreasing function of time. The proofs shown here apply to any Hamiltonian system, including ones in which the Poisson bracket operator is non-canonical (for example, the gyrokinetic equations). We demonstrate the ability of the scheme to solve the Vlasov--Poisson and incompressible Euler equations in 2D and provide references where we have applied these schemes to solve the much more complex 5D electrostatic and electromagnetic gyrokinetic equations.

研究动机与目标

• 开发能够保持关键物理不变量（尤其是能量和$L_2$范数）的数值格式，用于等离子体物理和流体动力学中的哈密顿演化方程。
• 通过将DG用于分布函数、CG用于哈密顿量，结合以确保在连续时间极限下能量守恒。
• 分析不同数值通量选择（中心 vs. 迎风）下$L_2$范数和熵的守恒性质。
• 在涡旋华尔兹和二维双剪切流等基准问题上，展示该格式的鲁棒性和精度。
• 通过提供一种保守、高效且可扩展的框架，实现对复杂5D磁流体力学系统的高保真模拟。

提出的方法

• 采用混合DG/CV（连续伽辽金）弱形式，其中分布函数通过DG格式演化，而哈密顿量被投影到连续子空间中，以确保能量守恒。
• 该格式源于哈密顿演化方程$\partial_t f + \{f, H\} = 0$，通过雅可比行列式和相空间速度将其重写为守恒律形式。
• 在单元界面应用数值通量：中心通量保持$L_2$范数和熵守恒，而迎风通量则诱导$L_2$范数单调衰减，以实现网格尺度稳定性。
• 该方法应用于二维的Vlasov–Poisson方程和不可压缩Euler方程，采用类似谱元的基函数，并通过自动化代码生成实现。
• 能量守恒可独立于通量类型得到证明，原因在于相空间平流相对于能量等值线的几何结构。
• 该格式在Gkeyll代码库中实现，通过版本控制的输入文件和基于conda的部署实现完全可复现性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以设计一种间断伽辽金格式，使其在具有非典型泊松括号的哈密顿系统中实现能量守恒？
• RQ2 在DG格式中使用中心通量是否能保持分布函数的$L_2$范数和熵？
• RQ3 迎风处理如何影响$L_2$范数守恒？其在稳定小尺度结构中的作用是什么？
• RQ4 该格式能否在复杂5D等离子体系统中保持高阶精度和效率，同时守恒关键不变量？
• RQ5 多项式阶数对长时间模拟中精度和计算成本的影响如何？

主要发现

• 无论通量类型如何，该格式在连续时间极限下均能将总能量守恒至时间积分格式的精度阶次。
• 使用中心通量时，分布函数的$L_2$范数得以守恒；使用迎风通量时，$L_2$范数单调衰减，从而确保稳定性。
• 由于$L_2$范数和粒子数守恒，熵被证明在时间上非递减。
• 在较粗网格上，$p=2$（SP2）格式比$p=1$（SP1）格式具有更高的精度和更快的运行速度，表明存在性能最佳点。
• 涡旋华尔兹和双剪切问题的模拟显示，能量和$L_2$范数得到极好守恒，细网格下相位误差极小。
• 该方法已成功扩展至5D静电和电磁磁流体力学方程，证明其在高维等离子体问题中的可扩展性。