[论文解读] Discorrelation between primes in short intervals and polynomial phases

Kaisa Matomäki, Xuancheng Shao|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2019

Analytic Number Theory Research参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文建立了对短区间内 von Mangoldt 函数指数和与多项式相位之间非相关性的估计，表明此类和式很小，除非多项式相位在模小分母下接近常数。关键结果将短区间长度 $ H = N^\theta $ 的范围扩展至 $ \theta > 2/3 $，从而实现了比以往结果变量更少的短区间 Waring-Goldbach 问题版本。

ABSTRACT

Let $H = N^θ, θ> 2/3$ and $k \geq 1$. We obtain estimates for the following exponential sum over primes in short intervals: \[ \sum_{N < n \leq N+H} Λ(n) e(g(n)), \] where $g$ is a polynomial of degree $k$. As a consequence of this in the special case $g(n) = αn^k$, we deduce a short interval version of the Waring-Goldbach problem.

研究动机与目标

• 建立对短区间内指数和 $ \sum_{N < n \leq N+H} \Lambda(n) e(g(n)) $ 的精确估计，其中 $ H = N^\theta $，$ g $ 为 $ k $ 次多项式。
• 将此类和式可被证明为小（即非相关）的 $ \theta $ 范围扩展，除非相位处于“主弧”情形。
• 将改进的指数和估计应用于获得变量更少的短区间 Waring-Goldbach 问题版本。
• 将关于单项式 $ \alpha n^k $ 的结果推广至一般多项式相位 $ g(n) $，并将分析扩展至 Möbius 函数。

提出的方法

• 使用圆法将指数和分解为主弧与余弧，其中主弧由首项系数的有理逼近定义。
• 应用最近被解决的 Vinogradov 平均值定理，以控制余弧上指数和的 $ L^{2t} $-范数。
• 使用双线性形式方法与 $ W $-技巧技术处理短区间内的 von Mangoldt 函数。
• 建立一个关键的传递型估计：若和式较大，则首项系数 $ \alpha_k $ 必须被一个分母较小的有理数良好逼近。
• 使用 Huxley 的零密度估计，通过算术级数中的素数定理控制主弧贡献。
• 将 Green-Tao 的非相关性框架适配至短区间设置下的多项式相位。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将指数和 $ \sum_{N < n \leq N+H} \Lambda(n) e(\alpha n^k) $ 在短区间 $ (N, N+H] $ 上为小的 $ \theta $ 范围扩展至超过 $ \theta > 19/24 $？
• RQ2 在何种 $ \alpha $ 条件下，和式 $ \sum_{N < n \leq N+H} \Lambda(n) e(\alpha n^k) $ 不再为小？此类情形应如何分类？
• RQ3 能否在 $ \theta > 2/3 $ 时解决短区间内的 Waring-Goldbach 问题？需要多少变量？
• RQ4 非相关性是否对所有 $ k $ 次多项式均匀成立，而不仅限于单项式？
• RQ5 能否为短区间上的 Möbius 函数建立类似的非相关性估计？

主要发现

• 当 $ H = N^\theta $ 且 $ \theta > 2/3 $ 时，指数和 $ \left| \sum_{N < n \leq N+H} \Lambda(n) e(\alpha n^k) \right| $ 满足 $ \ll H / (\log N)^A $，除非存在某个小的 $ q \leq (\log N)^{O_k(A)} $，使得 $ \| q\alpha \| \leq (\log N)^{O_k(A)} / (N^{k-1} H) $。
• 对 $ \alpha $ 的条件意味着在模 $ q $ 下，相位 $ \alpha n^k $ 在区间 $ (N, N+H] $ 上几乎为常数，对应于主弧情形。
• 主要结果导出了 Waring-Goldbach 问题的短区间版本：对所有足够大的 $ N \equiv s \pmod{R(k)} $，其中 $ s \geq k(k+1)+3 $ 且 $ \theta > 2/3 $，可将 $ N $ 表示为 $ s $ 个素数的 $ k $ 次幂之和，且每个素数的 $ k $ 次根与 $ (N/s)^{1/k} $ 的偏差在 $ N^{\theta/k} $ 范围内。
• 所需变量数 $ s $ 被改进为 $ k(k+1)+3 $，结合 Vinogradov 平均值定理的解决，此结果优于以往的界限。
• 对 Möbius 函数，当 $ \theta > 2/3 $ 时，对所有 $ k $ 次多项式 $ g $，有 $ \sum_{N < n \leq N+H} \mu(n) e(g(n)) \ll_{k,A} H / (\log N)^A $，且该估计一致成立。
• 分析表明，当 $ \theta > 2/3 $ 时，余弧贡献可忽略不计，这是由于新指数和估计与 Vinogradov 平均值定理的结合。