[论文解读] Discover the GLM and pseudo-Lagrangian equations of fluid dynamics on four pages

V. A. Vladimirov|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2026

Fluid dynamics and aerodynamics studies被引用 0

一句话总结

本论文展示了在伪拉格朗日框架下针对无黏性、不可压、同质流体的广义拉格朗日平均(GLM)理论的教学推导，显示如何从伪拉格朗日形式得到GLM方程并求解。

ABSTRACT

The General Lagrangian Mean (GLM) theory uses a set of averaged equations of fluid dynamics to describe interactions between mean flows and waves. These equations are formulated in coordinates that follow the fluid's average velocity and are often referred to as `pseudo-Lagrangian' or `semi-Lagrangian'. This paper focuses on the principles for deriving the pseudo-Lagrangian and GLM equations, using an inviscid, incompressible, homogeneous fluid as a demonstration case. Our exposition differs methodically from that of others and is aimed at the learners of the subject. Keywords: fluid flows, pseudo-Lagrangian description, GLM theory, inviscid incompressible fluid, Lagrangian displacements, mean flows, waves, averaged equations.

研究动机与目标

• 解释伪拉格朗日描述在流体运动中的含义与用途。
• 推导无黏性、不可压、同质流体的伪拉格朗日形式的 Euler 方程。
• 通过平均将伪拉格朗日方程转化为 GLM 框架。
• 展示平均化如何产生 GLM 假动量及相关项。
• 概述求解 GLM 方程并获得平均流的实际方法。

提出的方法

• 通过映射在拉格朗日坐标、欧拉坐标与参考运动之间，介绍两种流体运动描述。
• 使用雅可比行列式和参考速度将 Euler 方程改写为伪拉格朗日形式。
• 引入拉格朗日位移以将平均运动与扰动运动分离。
• 应用集合平均来推导 GLM 方程并定义伪动量向量。
• 在假设小振幅波和弱平均流的前提下得到封闭的 GLM 半拉格朗日系统，得到位移场与平均速度的一组耦合方程。
• 讨论如何求解 GLM 方程并将解返回物理坐标。

实验结果

研究问题

• RQ1 伪拉格朗日描述如何用于从无黏性、不可压的流体动力学中推导 GLM 方程？
• RQ2 在 GLM 框架中，拉格朗日位移在连接平均流与扰动中的作用是什么？
• RQ3 集合平均如何在 GLM 中产生伪动量和修正的平均流方程？
• RQ4 在何种近似下可以闭合 GLM 方程并实际求解波-平均流相互作用？

主要发现

• 通过对无黏性、不可压、同质流体的 Euler 方程的伪拉格朗日形式进行平均，可以推导出 GLM 方程。
• 平均化的系统引入了一个伪动量向量，将平均流与位移场联系起来。
• 当假设小振幅波和弱平均流时，会出现一个封闭的半拉格朗日 GLM 系统，给出位移场和平均速度的耦合方程。
• 在伪拉格朗日变换中参考运动变得非平凡（可压缩），而实际速度在原坐标系中仍然发散-free。
• 提供了解 GLM 方程的明确途径：先求解位移场，再由其确定平均流。
• 附录澄清了在 GLM 中连续性方程如何变换和展开，包括 xi 与 eta 映射之间的详细关系。