[论文解读] Discovering a reaction-diffusion model for Alzheimer's disease by combining PINNs with symbolic regression

Zhen Zhang, Zongren Zou+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2023

Advanced Neuroimaging Techniques and Applications被引用 5

一句话总结

本研究提出一种混合机器学习框架，结合物理信息神经网络（PINNs）与符号回归，从纵向正电子发射断层扫描（PET）影像数据中发现阿尔茨海默病中tau蛋白错误折叠的反应-扩散模型。该方法识别出不同的错误折叠动力学——阿尔茨海默病患者中错误折叠速度更快（f(c) = 0.23c³ − 1.34c² + 1.11c），而健康对照组中则更慢（f(c) = −c³ + 0.62c² + 0.39c），从而实现对疾病进展的个性化建模。

ABSTRACT

Misfolded tau proteins play a critical role in the progression and pathology of Alzheimer's disease. Recent studies suggest that the spatio-temporal pattern of misfolded tau follows a reaction-diffusion type equation. However, the precise mathematical model and parameters that characterize the progression of misfolded protein across the brain remain incompletely understood. Here, we use deep learning and artificial intelligence to discover a mathematical model for the progression of Alzheimer's disease using longitudinal tau positron emission tomography from the Alzheimer's Disease Neuroimaging Initiative database. Specifically, we integrate physics informed neural networks (PINNs) and symbolic regression to discover a reaction-diffusion type partial differential equation for tau protein misfolding and spreading. First, we demonstrate the potential of our model and parameter discovery on synthetic data. Then, we apply our method to discover the best model and parameters to explain tau imaging data from 46 individuals who are likely to develop Alzheimer's disease and 30 healthy controls. Our symbolic regression discovers different misfolding models $f(c)$ for two groups, with a faster misfolding for the Alzheimer's group, $f(c) = 0.23c^3 - 1.34c^2 + 1.11c$, than for the healthy control group, $f(c) = -c^3 +0.62c^2 + 0.39c$. Our results suggest that PINNs, supplemented by symbolic regression, can discover a reaction-diffusion type model to explain misfolded tau protein concentrations in Alzheimer's disease. We expect our study to be the starting point for a more holistic analysis to provide image-based technologies for early diagnosis, and ideally early treatment of neurodegeneration in Alzheimer's disease and possibly other misfolding-protein based neurodegenerative disorders.

研究动机与目标

• 利用临床影像数据，发现阿尔茨海默病中错误折叠tau蛋白时空进展的数据驱动数学模型。
• 通过从数据中发现模型而非依赖预设函数形式，克服先前模型假设的局限性。
• 通过量化个体患者中tau蛋白错误折叠动力学，提升早期诊断与疾病进展的个性化预测能力。
• 将物理信息神经网络与符号回归相结合，实现在生物医学偏微分方程系统中的稳健、可解释的模型发现。
• 在合成数据和46名阿尔茨海默病易感者及30名健康个体的真实纵向tau PET扫描数据上验证该框架。

提出的方法

• 利用物理信息神经网络（PINNs）从噪声大、稀疏的纵向tau PET数据中学习反应-扩散PDE的解与参数。
• 在PINN训练中引入物理约束（如f(0) = f(1) = 0），以提升泛化能力并减少过拟合。
• 使用符号回归从学习得到的PINN函数fϕ(c)中提取可解释的、封闭形式的反应项f(c)表达式。
• 采用两阶段流程：首先，PINNs推断扩散系数与反应速率参数；其次，符号回归识别f(c)的函数形式。
• 使用基于评分的模型选择指标对候选符号表达式进行排序，优先选择简洁性与准确性兼备的模型。
• 利用符号回归的归纳偏差，校正PINN在低数据区域的外推误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 混合PINN-符号回归框架能否发现一个准确解释阿尔茨海默病中错误折叠tau蛋白时空传播的反应-扩散模型？
• RQ2 引入物理约束（如f(0) = f(1) = 0）如何影响所学模型的准确性和泛化能力？
• RQ3 通过数据驱动的模型发现，阿尔茨海默病患者与健康对照组的错误折叠动力学有何不同？
• RQ4 与原始PINN输出相比，符号回归在多大程度上提升了所学反应项的可解释性与可靠性？
• RQ5 训练数据量（T）在多大程度上影响所发现符号模型的质量与正确性？

主要发现

• 在合成数据中，当使用足够数据（T=6）和边界约束时，符号回归方法成功恢复了真实反应项f(c) = c(1 − c)。
• 在真实数据中，该方法为阿尔茨海默病患者发现了立方错误折叠函数：f(c) = 0.23c³ − 1.34c² + 1.11c，表明其错误折叠速度更快且更具非线性特征。
• 对于健康对照组，该方法识别出f(c) = −c³ + 0.62c² + 0.39c，表明其错误折叠过程更缓慢且更趋于平衡。
• 当未施加边界条件时，符号模型需T=6个时间点才能正确识别真实反应项，凸显了数据量与约束条件的重要性。
• 在外推性能方面，符号回归模型优于原始PINN输出，因其通过排除低数据浓度区域，避开了PINN泛化能力差的区域。
• 该框架在模型参数与函数形式的推断上表现出稳健性，即使数据有限，PINNs也能准确恢复κ与α。