[论文解读] Discovering Asymptotic Expansions Using Symbolic Regression

Rasul Abdusalamov, Julius Kaplunov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Neural Networks and Applications被引用 1

一句话总结

本文提出一种符号回归（SR）方法，用于在力学中发现渐近展开式，利用精确解生成训练数据。结果表明，SR能够准确恢复两类渐近级数——收敛与发散级数，涵盖双质量碰撞、Kelvin-Voigt粘弹性固体以及Rayleigh-Lamb波等问题，与解析基准结果高度一致，并具备从实验或数值数据中识别材料参数（如泊松比）的潜力。

ABSTRACT

Recently, symbolic regression (SR) has demonstrated its efficiency for discovering basic governing relations in physical systems. A major impact can be potentially achieved by coupling symbolic regression with asymptotic methodology. The main advantage of asymptotic approach involves the robust approximation to the sought for solution bringing a clear idea of the effect of problem parameters. However, the analytic derivation of the asymptotic series is often highly nontrivial especially, when the exact solution is not available. In this paper, we adapt SR methodology to discover asymptotic series. As an illustration we consider three problem in mechanics, including two-mass collision, viscoelastic behavior of a Kelvin-Voigt solid and propagation of Rayleigh-Lamb waves. The training data is generated from the explicit exact solutions of these problems. The obtained SR results are compared to the benchmark asymptotic expansions of the above mentioned exact solutions. Both convergent and divergent asymptotic series are considered. A good agreement between SR expansions and analytical results is observed. It is demonstrated that the proposed approach can be used to identify material parameters, e.g. Poisson's ratio, and has high prospects for utilizing experimental and numerical data.

研究动机与目标

• 开发一种符号回归框架，用于发现解析推导复杂的机械系统中的渐近展开式。
• 评估SR在恢复已知渐近级数（包括收敛与发散类型）方面的准确性。
• 展示SR从数值或实验数据中提取渐近行为的可行性。
• 探索SR在从波动传播数据中识别材料参数（如泊松比）方面的应用。

提出的方法

• 从三个力学问题的精确解析解中生成训练数据：双质量碰撞、Kelvin-Voigt粘弹性模型以及Rayleigh-Lamb波传播。
• 采用基于遗传编程的搜索方法，在预定义的数学函数与运算集合上执行符号回归，以发现闭式表达式。
• 使用适应度指标评估SR所得展开式与基准渐近级数的质量。
• 将尺度律和物理参数（如δ、η、θ）作为输入，以引导搜索出渐近有效的函数形式。
• 在小参数（δ ≪ 1）与大参数（δ ≫ 1）两种情形下测试该方法，以覆盖收敛与发散的渐近行为。
• 通过将SR展开式与已知的解析渐近级数（包括对数项与多项式项）进行比较，验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 符号回归能否准确恢复具有精确解的力学系统中的已知渐近展开式？
• RQ2 SR在不同物理参数区域中，对收敛与发散渐近级数的捕捉能力如何？
• RQ3 SR能否从渐近波行为中识别出有意义的物理参数（如泊松比）？
• RQ4 当缺乏精确解时，SR在数值模拟或实验数据上的适用程度如何？
• RQ5 SR能否在复杂波问题中发现包含对数项与高阶修正项的渐近结构？

主要发现

• 符号回归成功恢复了双质量碰撞问题的渐近展开式，与解析结果高度一致，最佳近似适应度值低至4.876 × 10−13。
• 在Kelvin-Voigt粘弹性模型中，SR在δ ≪ 1区域准确捕捉了发散渐近级数，适应度值低于10−5；在δ ≫ 1情形下识别出了对数项。
• 在Rayleigh-Lamb波问题中，SR对K4的展开式与基准级数高度一致，多次试验中适应度值均低于5 × 10−5。
• 该方法在识别复杂函数形式方面表现出鲁棒性，尤其在δ ≫ 1区域，成功识别出嵌套对数项与高阶多项式修正项。
• SR结果支持通过拟合渐近波行为来估计泊松比，表明其在从数据中实现反向参数识别方面具有潜力。
• 最佳SR近似适应度值低于1.17 × 10−16，表明在部分情形下与解析渐近展开式近乎完美匹配。