[论文解读] Discovering the Fourier Transform: A Tutorial on Circulant Matrices, Circular Convolution, and the DFT

Bassam Bamieh|arXiv (Cornell University)|May 15, 2018

Matrix Theory and Algorithms参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文证明了离散傅里叶变换（DFT）在从线性代数角度出发时，自然地作为将所有循环矩阵同时对角化的基变换而出现。通过将DFT视为将循环卷积简化为逐点乘法的变换，本文揭示了其与矩阵对角化的内在联系，提供了一种基础性的、代数化的推导，而非基于信号处理的启发式方法。

ABSTRACT

How could the Fourier transform be discovered if one didn't know it? In the case of the Discrete Fourier Transform (DFT), we show how it arises naturally out of analysis of circulant matrices. In particular, the DFT can be derived as the change of basis that simultaneously diagonalizes all circulant matrices. Thus the DFT arises naturally from a linear algebra question. Rather than thinking of the DFT as a signal transform, it is more natural to think of it as a change of basis that renders a certain set of linear operations into a simple, diagonal form.

研究动机与目标

• 将离散傅里叶变换（DFT）重新表述为一种基变换，而非信号变换，该基变换可对角化循环矩阵。
• 表明DFT自然地源于涉及一族线性算子同时对角化的线性代数问题的求解。
• 通过从矩阵结构而非人为的信号处理假设出发推导DFT，建立对DFT更深层次、更直观的理解。
• 通过循环矩阵的代数性质，将DFT与循环卷积联系起来。
• 提供一种教学性强且理论基础扎实的DFT推导，强调其在线性代数中的结构性起源。

提出的方法

• 本文识别出循环矩阵是其结构自然引出DFT的关键矩阵类别。
• 它表明所有循环矩阵共享一个公共的特征基，该基由傅里叶模态（单位根向量）构成。
• DFT被推导为将标准基转换为此类循环矩阵的公共特征基的变换矩阵。
• 本文利用了乘以循环矩阵对应于时域中的循环卷积，而对角化则对应于变换到频域的事实。
• 核心方程包括将循环矩阵表示为循环移位矩阵的多项式，以及涉及第一行DFT的特征值公式。
• 推导过程通过证明DFT矩阵通过相似变换对任意循环矩阵实现对角化，从而将卷积简化为逐点乘法。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从一个基本的线性代数问题出发推导DFT，而非基于信号处理的直觉？
• RQ2 为何循环矩阵具有公共的特征基？该基的结构是什么？
• RQ3 DFT与循环矩阵对角化之间的精确关系是什么？
• RQ4 DFT如何将循环卷积操作转化为简单的乘法？
• RQ5 DFT在简化周期序列上线性运算中的代数起源是什么？

主要发现

• DFT自然地作为同时对角化所有循环矩阵的基变换出现，揭示了其在线性代数中的结构性起源。
• 循环矩阵的特征基由傅里叶模态组成，即DFT矩阵的列。
• 时域中的循环卷积对应于频域中的逐点乘法，而DFT正是实现这种简化的变换。
• DFT矩阵是通过相似变换对任意循环矩阵实现对角化的变换，使其成为此类运算的规范基。
• 循环矩阵的特征值由其第一行的DFT给出，建立了矩阵与其谱分解之间的直接代数联系。
• 该推导表明，DFT并非一种任意工具，而是循环算子代数结构的自然结果。