[论文解读] Discovery of new quasicrystals from translation of hypercubic lattice

Junmo Jeon, SungBin Lee|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2021

Quasicrystal Structures and Properties被引用 4

一句话总结

本文展示了通过截面投影法，四维超立方晶格中的平移可生成具有2、4和8重旋转对称性的不同二维准晶。通过分类四维空间中的平移矢量，作者证明这些平移直接决定了投影准晶的旋转对称性与局部结构，揭示了高维晶格操作与低维准晶对称性之间深层联系。

ABSTRACT

How are the symmetries encoded in quasicrystals? As a compensation for the lack of translational symmetry, quasicrystals admit non-crystallographic symmetries such as 5- and 8-fold rotations in two-dimensional space. It is originated from the extended crystallography group of high-dimensional lattices and projection onto the physical space having a finite perpendicular window. One intriguing question is : How does the translation operation in high-dimension affect to the quasicrystals as a consequence of the projection? Here, we answer to this question and prove that a simple translation in four-dimensional hypercubic lattice completely determines a distinct rotational symmetry of two-dimensional quasicrystals. In details, by classifying translations in four-dimensional hypercubic lattice, new types of quasicrystals with 2,4 and 8-fold rotational symmetries are discussed. It gives us an important insight that a translation in high-dimensional lattice is intertwined with a rotational symmetry of the quasicrystals. In addition, regarding to the multi-frequency driven systems, it provides a unique way to discover new quasicrystals projected from the high-dimensional Floquet lattice.

研究动机与目标

• 研究高维晶格中的平移操作如何影响投影准晶的旋转对称性。
• 对四维超立方晶格中的平移矢量进行分类，以获得具有非晶体学对称性的不同准晶结构。
• 建立高维晶格平移与二维准晶中新型局部图案及旋转对称性出现之间的直接对应关系。
• 提供一种系统化方法，通过平移诱导的对称性控制来发现新的准晶镶嵌图案。
• 通过高维晶格投影，拓展对多频驱动系统和光学晶格中准晶形成机制的理解。

提出的方法

• 采用截面投影方案（CPS），将四维超立方晶格中的点投影到二维物理空间，其中垂直方向的窗口定义了投影方式。
• 在四维晶格中应用离散平移矢量 γ，具体包括 γ = ½(1,1,1,1)、½(1,0,1,0)、½(1,0,0,0) 和 ½(1,1,0,0)，以生成不同的准晶图案。
• 分析Wigner-Seitz胞在垂直空间（π⊥）的投影，以确定投影准晶的对称性与局部结构。
• 将具有2、4或8重对称性的准晶与由任意通约平移（如 γ = (1/2, 1/3, 1/4, 1/5)）产生的非对称准晶进行比较。
• 利用 π⊥-投影图像识别准晶中对应于新局部图案的区域，特别是沿对角线方向的区域。
• 通过分析 π 和 π⊥ 投影的对称性，确认准晶中的旋转对称性源自高维晶格结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 四维超立方晶格中的平移如何影响投影到二维的准晶的旋转对称性？
• RQ2 四维空间中哪些特定平移矢量会导致准晶中出现2、4和8重旋转对称性？
• RQ3 准晶的局部结构（如对角线方向的新图案）与晶格窗口的 π⊥-投影之间有何关联？
• RQ4 为何某些平移能保持全局旋转对称性，而其他平移则导致非对称的准晶图案？
• RQ5 能否系统性地利用截面投影法，通过受控的晶格平移发现新的准晶镶嵌结构？

主要发现

• 四维超立方晶格中的平移，如 γ = ½(1,1,1,1)，可生成具有8重旋转对称性的准晶，对应于Ammann-Beenker镶嵌。
• 平移 γ = ½(1,0,1,0) 生成具有4重旋转对称性的准晶，其结构与标准Ammann-Beenker结构不同。
• 平移 γ = ½(1,0,0,0) 和 γ = ½(1,1,0,0) 产生具有2重旋转对称性的准晶，表明即使低对称性平移也能生成有序图案。
• 这些准晶的 π⊥-投影图像展现出与物理空间投影相同的旋转对称性，证实了对称性的高维起源。
• 准晶中出现的新局部图案（沿对角线可见）与 π⊥-投影图像中的绿色区域直接相关，尤其在 γ = ½(1,1,1,1)、½(1,0,1,0) 和 ½(1,0,0,0) 情况下。
• 任意通约平移（如 γ = (1/2, 1/3, 1/4, 1/5)）会产生无全局旋转对称性的非对称准晶，其 π⊥-投影也缺乏对称性，证实了特定平移矢量对对称结果的必要性。