[论文解读] Discrepancies of $p$-cyclic quotient varieties

Takehiko Yasuda|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 3

一句话总结

该论文在正特征 $p>0$ 的域上，为 $p$-循环商簇的终端、典范及对数典范奇点建立了精确判别准则。通过不变量 $D_V$ 和一种新函数 $Δ́́_V(s)$，推导出最小分歧度 $δ(X)$ 的精确公式，证明了当且仅当 $D_V \geq p$（相应地 $D_V \geq p-1$，$D_V \geq p-2$）时，$X$ 为终端（相应地典范、对数典范）奇点，从而构造出新的非科恩-麦克唐劳终端奇点例子。

ABSTRACT

We consider the quotient variety associated to a linear representation of the cyclic group of order p in characteristic p>0. We estimate the minimal discrepancy of exceptional divisors over the singular locus. In particular, we give criteria for the quotient variety being terminal, canonical and log canonical. As an application, we obtain new examples of non-Cohen-Macaulay terminal singularities, adding to examples recently announced by Totaro.

研究动机与目标

• 确定正特征下 $p$-循环商簇在奇点集上例外除子的最小分歧度 $\delta(X)$。
• 分类此类商簇为终端、典范或对数典范的条件。
• 构造新的非科恩-麦克唐劳终端奇点例子，扩展托塔罗的结果。
• 以表示论不变量 $D_V$ 和函数 $Δ́́_V(s)$ 表达 $δ(X)$ 的精确公式。

提出的方法

• 定义 $D_V = \sum_{\lambda=1}^l \frac{(d_\lambda - 1)d_\lambda}{2}$ 为不可约 $G$-表示 $V_{d_\lambda}$ 的不变量之和。
• 对 $1 \leq j \leq p-1$，引入函数 $\mathrm{sht}_V(j) = \sum_{\lambda=1}^l \sum_{i=1}^{d_\lambda - 1} \left\lfloor \frac{ij}{p} \right\rfloor$，以捕捉分歧数据。
• 利用弧空间与喷射概形技术，计算在奇点集上的动机积分，得出公式 $\nu(M_j) = l + (p-1 - D_V)n + s - \mathrm{sht}_V(s)$，其中 $j = np + s$。
• 应用变量替换公式与弧空间的可测分解，将 $\delta(X)$ 与集合 $J$ 上 $\nu(M_j)$ 的下确界联系起来。
• 推导关键恒等式 $s - \mathrm{sht}_V(s) = \mathrm{sht}_V(p-s) + s + d - l - D_V$，以关联对偶跳跃处的分歧度。
• 通过 $\mathrm{sht}_V(s) \leq \frac{(s-1)D_V}{p}$ 建立上界，从而导出下界 $\delta(X) \geq \frac{2D_V}{p} - 2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征 $p > 0$ 下，$p$-循环表示 $V$ 的商簇 $X = V/G$ 何时为终端、典范或对数典范？
• RQ2 在 $X$ 的奇点集上，最小分歧度 $\delta(X)$ 的精确值是什么？
• RQ3 非科恩-麦克唐劳终端奇点是否可能存在于正特征下？若存在，其表示论条件为何？
• RQ4 最小分歧度 $\delta(X)$ 如何依赖于 $V$ 在不可约 $G$-模上的分解？
• RQ5 函数 $\mathrm{sht}_V(j)$ 在确定 $X$ 的奇点类型中起何种作用？

主要发现

• 当且仅当 $D_V \geq p$ 时，商簇 $X = V/G$ 为终端；当且仅当 $D_V \geq p-1$ 时为典范；当且仅当 $D_V \geq p-2$ 时为对数典范，且假设 $D_V \geq 2$。
• 当 $D_V < p-1$ 时，最小分歧度 $\delta(X) = -\infty$，意味着 $X$ 不是对数典范。
• 当 $D_V \geq p-1$ 时，最小分歧度为 $\delta(X) = D_V - 1 - \max_{1 \leq s \leq p-1} \{ \mathrm{sht}_V(p-s) + s \}$，给出精确公式。
• 当 $D_V \geq p$ 时，有下界 $\delta(X) \geq \frac{2D_V}{p} - 2$，且当 $D_V = p$ 时该界是紧的。
• 当 $D_V \geq p$ 时，$X$ 为典范，且该下界 $\delta(X) \geq \frac{2D_V}{p} - 2$ 为非平凡，并优于先前估计。
• 本文构造了新的非科恩-麦克唐劳终端奇点例子，如特征 2 下的 $V = V_2^\oplus 3$ 或特征 5 下的 $V = V_4$，扩展了托塔罗的结果。