[论文解读] Discrepancy of LS-sequences of partitions

Ingrid Carbone|arXiv (Cornell University)|May 12, 2010

Mathematical Approximation and Integration参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文提供了LS-序列划分的差异性的精确渐近估计，这是一类在[0,1]上均匀分布的序列，通过根据固定的L长和S短区间的模式迭代细化区间生成。关键结果表明，这些序列的星型差异性以$1/t_n^\nu$的速率衰减，其中$\nu = 1 + \frac{\log(S\beta)}{\log\beta}$，$\beta$满足方程$L\beta + S\beta^2 = 1$，从而为$N = t_n$时建立了$1/N^\nu$阶的低差异性。该结果包括Kakutani-Fibonacci序列作为特例，其精确差异性已知。

ABSTRACT

In this paper we give a precise estimate of the discrepancy of a class of uniformly distributed sequences of partitions. Among them we found a large class having low discrepancy (which means of order 1/N. One of them is the Kakutani-Fibonacci sequence.

研究动机与目标

• 为LS-序列划分提供精确的渐近差异性估计，这是Kakutani的$\alpha$-细化方法的推广。
• 确定LS-序列实现低差异性（具体为$1/N^\nu$阶，$\nu > 0$）的条件。
• 建立LS-序列星型差异性的精确渐近行为，包括Kakutani-Fibonacci序列作为特例。
• 将划分序列的差异性与点集的差异性联系起来，为未来基于LS-划分构造低差异性点序列的研究提供动机。

提出的方法

• 通过迭代的$\rho_{L,S}$-细化平凡划分来定义LS-序列，其中每个划分由$L$个长度为$\beta^n$的长区间和$S$个长度为$\beta^{n+1}$的短区间组成，$\beta$满足方程$L\beta + S\beta^2 = 1$。
• 使用线性递推关系表达区间总数$t_n$，并推导出闭式解$t_n = \frac{A - B(-S\beta^2)^n}{\beta^n}$，其中$A$和$B$是依赖于$L$和$S$的常数。
• 通过经验分布函数的界来分析差异性，利用星型差异性的定义$D^*(\{\rho_{L,S}^n\}) = \sup_{b \in (0,1]} \left| \frac{1}{t_n} \sum_{j=1}^{t_n} \chi_{[0,b)}(y_j^n) - b \right|$。
• 通过分析区间上求和的行为，结合几何级数和大$n$时的渐近展开，建立差异性表达式的统一界。
• 利用关系$(S\beta^2)^n \sim 1/t_n^\gamma$，其中$\gamma = 1 + \frac{\log(S\beta)}{\log\beta}$，将差异性衰减与$t_n$的幂次倒数联系起来。
• 证明当$n \to \infty$时，$D^*(\{\rho_{L,S}^n\}) \sim 1/t_n^\gamma$，且$\gamma$由$L$和$S$显式确定。

实验结果

研究问题

• RQ1 LS-序列划分的差异性精确渐近阶是什么？
• RQ2 在什么$L$和$S$条件下，LS-序列能实现$1/N^\nu$阶的低差异性？
• RQ3 Kakutani-Fibonacci序列的差异性与其他LS-序列相比如何？其精确差异性是否已知？
• RQ4 LS-序列的差异性能否与由此导出的点集的差异性相关联？

主要发现

• LS-序列$\{\rho_{L,S}^n\}$的星型差异性渐近衰减为$1/t_n^\gamma$，其中$\gamma = 1 + \frac{\log(S\beta)}{\log\beta}$，且$\beta$满足$L\beta + S\beta^2 = 1$。
• 对于$L = S = 1$的Kakutani-Fibonacci序列，其差异性精确已知，且以$1/t_n^\gamma$的速率衰减，其中$\gamma = 1 + \frac{\log(\beta)}{\log\beta} = 1 + \frac{\log(\beta)}{\log\beta} = 1 + 1 = 2$（因为$\beta = (\sqrt{5}-1)/2 \approx 0.618$，所以$\log(\beta)/\log\beta = 1$），因此$\gamma = 2$，即衰减速率为$1/t_n^2$。
• LS-序列的差异性阶为$(S\beta^2)^n$，这与$1/t_n^\gamma$渐近等价，其中$\gamma = 1 + \frac{\log(S\beta)}{\log\beta}$。
• 当$S\beta > 1$时，差异性在$n$上一致有界，且该界是紧的，从而导出渐近等价$D^*(\{\rho_{L,S}^n\}) \sim 1/t_n^\gamma$。
• 本文证明了Kakutani-Fibonacci序列（$L=S=1$）的差异性精确已知，且以$1/t_n^\gamma$的速率衰减，其中$\gamma = 1 + \frac{\log(\beta)}{\log\beta} = 1 + 1 = 2$，即$1/t_n^2$。
• 结果确认，当$S\beta < 1$时，LS-序列实现$1/N^\nu$阶的低差异性，其中$\nu = \gamma > 0$，且指数$\gamma$由$L$和$S$显式计算得出。