[论文解读] Discrete approximation and regularisation for the inverse conductivity problem

Luca Rondi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 32被引用 11

一句话总结

该论文通过根据噪声水平同时调节正则化和离散化参数，建立了具有不连续电导率的反电导率问题的离散正则化解的收敛性。采用总变差正则化和有限元离散化，证明了当噪声趋于零时，解收敛于真实电导率，前提是离散化参数 h 相对于噪声水平以多项式方式衰减。

ABSTRACT

We study the inverse conductivity problem with discontinuous conductivities. We consider, simultaneously, a regularisation and a discretisation for a variational approach to solve the inverse problem. We show that, under suitable choices of the regularisation and discretisation parameters, the discrete regularised solutions converge, as the noise level on the measurements goes to zero, to the looked for solution of the inverse problem.

研究动机与目标

• 解决具有不连续电导率的反电导率问题的不稳定性和不适定性。
• 严格证明当正则化与离散化参数均根据噪声水平调节时，离散正则化解的收敛性。
• 通过分析正则化与离散化的同步处理，而非固定正则化下的离散逼近，填补文献中的空白。
• 为具有非光滑解的反电导率问题中的数值方法提供理论基础。
• 将变分收敛技术（Γ-收敛）扩展至具有有限元逼近的完全离散设置。

提出的方法

• 将反电导率问题表述为如下形式的变分最小化问题：min_σ ||Λ(σ) - ˆΛ||_Y + a R(σ)，采用Tikhonov型正则化。
• 将总变差（TV）正则化作为正则化泛函 R(σ) = ∫_Ω |∇σ|，以促进分段光滑解。
• 使用在正则三角剖分上的标准连续分段线性有限元对电导率空间进行离散化，网格尺寸为 h。
• 引入联合参数选择：正则化参数 a 和离散化参数 h 均设为噪声水平 ε 的函数。
• 采用 Γ-收敛技术分析当 ε → 0 时，离散正则化泛函的极限行为。
• 以Mumford-Shah泛函的Ambrosio-Tortorelli逼近作为正则化模型，并将其扩展至离散有限元设置。

实验结果

研究问题

• RQ1 当正则化与离散化参数均根据噪声水平调节时，离散正则化解是否能收敛于反电导率问题的真实解？
• RQ2 离散化参数 h 相对于噪声水平 ε 的衰减速率应为多快才能保证收敛？
• RQ3 结合总变差正则化与有限元离散化是否能产生稳定且收敛的数值解？
• RQ4 正则化与离散化参数的联合调节如何影响离散正则化解的收敛性？
• RQ5 Γ-收敛技术能否扩展至分析具有非光滑解的反问题中完全离散正则化问题的收敛性？

主要发现

• 当噪声水平 ε → 0 时，若适当地选择正则化参数 a 和离散化参数 h，则离散正则化解在 L¹(Ω) 中收敛于真实电导率 σ₀。
• 离散化参数 h 必须相对于噪声水平 ε 以多项式方式衰减，具体为 h = O(ε^{1/β})，其中 β > 0。
• 离散正则化解的极限属于 SBV(Ω)，且满足条件 ∥Λ(˜σ) - Λ(σ₀)∥_Y = 0，即精确求解了反问题。
• 当 N = 2 时，在迹空间的额外密度假设下，整个离散解序列在 L¹(Ω) 中收敛于 σ₀，而不仅是一个子序列。
• 通过离散正则化泛函 Fε,h 对极限泛函 F₀ 的 Γ-收敛性建立收敛性，该极限泛函涉及 Mumford-Shah 泛函。
• 分析结果确认，在联合参数调节下，采用总变差正则化的离散有限元逼近在一致性和稳定性方面均成立。