[论文解读] Discrete approximation of functionals with jumps and creases

Andrea Braides|ArXiv.org|Oct 5, 2000

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文通过捕捉二阶导数和不连续性的离散差分格式，建立了具有 $H^2$-正则性、跳跃和褶皱的泛函的 $γ$-收敛近似。关键结果是离散近似最小化序列收敛于连续泛函的极小化子，从而实现了带有跳跃和褶皱惩罚项的信号重建问题的数值求解。

ABSTRACT

We prove a discrete approximation of functionals with jumps and creases.

研究动机与目标

• 提供一种涉及 $H^2$-正则性、函数跳跃以及其导数褶皱的自由不连续泛函的离散近似。
• 基于二阶有限差分建立离散能量对连续泛函 ${\cal F}$ 的 $γ$-收敛性。
• 证明离散最小化问题可作为带有跳跃和褶皱惩罚项的连续信号重建问题的数值近似。
• 在离散能量函数的最小假设下，刻画离散格式的渐近行为。

提出的方法

• 在均匀网格上，以间距 $\lambda_n = L/n$ 定义基于分段常数插值的二阶有限差分的离散能量 $E_n(u)$。
• 构造一族渐近恢复 $z^2$（当 $z$ 较小时）、$\alpha/\lambda_n$ 和 $\beta/(2\lambda_n)$（当 $z$ 较大时）的离散能量函数 $\Psi_n(z)$，以捕捉褶皱和跳跃惩罚。
• 利用 $\Gamma$-收敛理论证明 $E_n$ 沿 $L^1(0,L)$ 收敛于连续泛函 ${\cal F}(u) = \int_0^L |u''|^2 dt + \alpha \#(S(u')) + \beta \#(S(u))$，在 $L^2(0,L)$ 的有界集上。
• 通过有界序列在 $E_n$ 下的预紧性及稠密性论证，构造 $\Gamma$-收敛的恢复序列。
• 证明离散问题的最小值 $m_n = \min \{ E_n(u) + \int |u-g|^2 \}$ 收敛于连续问题的最小值 $m$，即 $\lim_{n\to\infty} m_n = m$。
• 通过分段仿射插值及有限差分商的渐近分析，验证 $\Gamma$-收敛条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于二阶有限差分的离散能量能否近似具有 $H^2$-函数中跳跃和褶皱的连续泛函？
• RQ2 在何种条件下，离散能量泛函对连续泛函实现 $\Gamma$-收敛？
• RQ3 离散近似在极限下如何保持 $H^2$-正则性、跳跃与褶皱惩罚之间的平衡？
• RQ4 离散问题的最小化序列是否收敛于连续问题的极小化子？
• RQ5 双尺度行为在离散能量函数渐近行为中起何种作用？

主要发现

• 离散泛函 $E_n$ 沿 $L^1(0,L)$ 收敛于连续泛函 ${\cal F}$，在 $L^2(0,L)$ 的有界集上实现 $\Gamma$-收敛。
• 离散问题 $m_n$ 的最小化序列收敛于连续问题的极小化子 $m$，且满足 $\lim_{n\to\infty} m_n = m$。
• 离散能量 $E_n(u)$ 通过 $\Psi_n(z)$ 的渐近标度，同时捕捉了二阶导数的 $L^2$-范数以及跳跃点和褶皱点的个数。
• 构造保证了 $\lim_{\varepsilon} \Psi_\varepsilon(z) = z^2$，$\lim_{\varepsilon} \varepsilon \Psi_\varepsilon(z/\varepsilon) = \alpha$，以及 $\lim_{\varepsilon} 2\varepsilon \Psi_\varepsilon(z/\varepsilon^2) = \beta$，反映了双尺度行为。
• 由于 ${\cal F}$ 的强制性及 $\Gamma$-收敛结构，$L^1(0,L)$ 中最小化序列的预紧性得以保证。
• 结果证明了采用分段常数插值和二阶有限差分的离散格式可用于带有跳跃和褶皱惩罚项的信号重建问题的数值求解。