[论文解读] Discrete approximations for sums of m-dependent random variables

V. Čekanavičius, P. Vellaisamy|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2013

Probability and Risk Models参考文献 31被引用 11

一句话总结

本论文利用复合泊松、负二项分布和二项分布，以及带符号的复合泊松测度，发展了用于m-依赖整数值随机变量之和的离散近似方法。通过海因里希方法与卷积平滑技术，建立了精确的总变差界，实现了渐近最优常数，并可应用于m-依赖统计量，如(k₁,k₂)事件和2-运行。

ABSTRACT

Sums of of 1-dependent integer-valued random variables are approximated by compound Poisson, negative binomial and Binomial distributions and signed compound Poisson measures. Estimates are obtained for total variation and local metrics. The results are then applied to statistics of $m$-dependent $(k_1,k_2)$ events and 2-runs. Heinrich's method and smoothing properties of convolutions are used for the proofs.

研究动机与目标

• 利用复合泊松、负二项和二项分布对m-依赖整数值随机变量之和进行近似。
• 推导和这些近似分布之间的总变差距离的显式界。
• 通过阶乘累积量与带符号测度，将海因里希的特征函数方法扩展至m-依赖序列。
• 实现渐近展开，提升标准泊松近似的精度。
• 将结果应用于特定统计量，如m-依赖序列中的(k₁,k₂)事件与2-运行。

提出的方法

• 利用联合阶乘矩与中心化阶乘矩导出的阶乘累积量Γ₁, Γ₂, Γ₃，刻画和Sₙ的分布。
• 基于特征函数与卷积平滑技术，应用海因里希方法推导总变差界。
• 定义带符号的复合泊松测度G = exp{Γ₁(e^{it}−1) + Γ₂(e^{it}−1)²}，以匹配两个矩，提升对泊松近似的精度。
• 通过参数N = ⌊Γ₁²/(2|Γ₂|)⌋与p̄ = Γ₁/N，以及通过矩匹配确定的r, q̄，构造二项与负二项近似。
• 运用平滑技术与卷积性质，控制特征函数方法中的误差项。
• 利用中心化阶乘矩Ê(Y₁,…,Yₖ)的递归定义，处理依赖结构并计算类似累积量的量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对m-依赖整数值随机变量之和使用标准离散分布进行近似，且控制总变差误差？
• RQ2 此类近似的最优收敛速率为何？通过匹配超过一个矩是否可进一步提升？
• RQ3 海因里希方法能否被调整以处理m-依赖序列与带符号测度，从而提升精度？
• RQ4 所推导的界在多大程度上适用于m-依赖序列中的特定统计量，如(k₁,k₂)事件与2-运行？
• RQ5 能否从近似框架中构建渐近展开，以实现更精细的误差分析？

主要发现

• 和Sₙ与其带符号复合泊松近似G之间的总变差距离被界为Cm³a³(p)(n−m+1)，显式依赖于m与成功概率a(p)。
• 对于二项近似Bi(N, p̄)，总变差误差被界为Cm³a²(p)/(n−m+1)，表明当n较大时收敛性更优。
• 负二项近似实现了对一、二阶阶乘矩的匹配，参数r与q̄通过涉及Γ₁与Γ₂的矩匹配方程确定。
• 对于2-运行与(k₁,k₂)事件，该方法可实现渐近最优常数，并支持渐近展开的构建。
• 特征函数展开中的余项满足R₁ ≤ C(n−m+1)m²a³(p)，表明误差增长受m与n的控制。
• 该方法在总变差界中实现了渐近最优常数，如2-运行示例所示，优于标准泊松近似。