[论文解读] Discrete Chaos

Henri Waelbroeck, Federico Zertuche|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 1996

Cellular Automata and Applications被引用 12

一句话总结

本文提出了一种基于与符号动力学微分同胚的二进制状态空间的离散系统确定性混沌理论，将其应用于神经网络和细胞自动机。研究表明，使用汉明距离的系统无法表现出混沌，但具备记忆的神经网络可以，其表现出拓扑传递性和相空间维数约化；当N=49时，非对称模型的吸引子维数Da=2。

ABSTRACT

We propose a theory of deterministic chaos for discrete systems, based on their representations in binary state spaces $ \Omega $, homeomorphic to the space of symbolic dynamics. This formalism is applied to neural networks and cellular automata; it is found that such systems cannot be viewed as chaotic when one uses the Hamming distance as the metric for the space. On the other hand, neural networks with memory can in principle provide examples of discrete chaos; numerical simulations show that the orbits on the attractor present topological transitivity and a dimensional phase space reduction. We compute this by extending the methodology of Grassberger and Procaccia to $ \Omega $. As an example, we consider an asymmetric neural network model with memory which has an attractor of dimension $D_a = 2$ for $N = 49$.

研究动机与目标

• 使用符号动力学和二进制状态空间，建立离散系统中确定性混沌的正式理论。
• 研究在标准度量（如汉明距离）下，神经网络和细胞自动机是否能表现出混沌行为。
• 确定具备记忆的系统是否能支持混沌动力学，特别是通过拓扑传递性和相空间维数约化来判断。
• 将Grassberger-Procaccia方法扩展至空间Ω，用于吸引子维数计算。
• 提供一个具有记忆的非对称神经网络中离散混沌的实例。

提出的方法

• 将离散系统表示在与符号动力学微分同胚的二进制状态空间Ω中，以分析其动力学行为。
• 将该形式化方法应用于神经网络和细胞自动机，评估在汉明距离度量下其混沌特性。
• 以拓扑传递性和相空间维数约化作为识别离散系统混沌性的标准。
• 将Grassberger-Procaccia算法扩展至空间Ω，以计算吸引子维数Da。
• 建立一个具有记忆的非对称神经网络模型，以模拟长期动力学并计算吸引子特性。
• 使用扩展方法计算N=49时的吸引子维数Da，结果为Da=2。

实验结果

研究问题

• RQ1 当使用汉明距离作为度量时，神经网络和细胞自动机等离散系统能否被归类为混沌系统？
• RQ2 具备记忆的系统是否表现出拓扑传递性和相空间维数约化，从而表明存在确定性混沌？
• RQ3 能否使用扩展的Grassberger-Procaccia方法在二进制状态空间Ω中计算吸引子维数Da？
• RQ4 具有记忆的非对称神经网络模型是否能在离散设置中表现出混沌动力学？
• RQ5 对于具有记忆的N=49非对称神经网络，吸引子维数Da的值是多少？

主要发现

• 当使用汉明距离作为度量时，神经网络和细胞自动机不表现出混沌。
• 具备记忆的系统原则上可支持混沌动力学，表现为拓扑传递性和相空间维数约化。
• 可使用Grassberger-Procaccia方法的扩展版本在空间Ω中计算吸引子维数Da。
• 对于具有记忆的非对称神经网络（N=49），吸引子维数被确定为Da=2。
• 系统表现出相空间维数约化，表明存在复杂但受约束的吸引子结构。
• 数值模拟通过拓扑和维数标准证实了带记忆神经网络中混沌行为的存在。