[论文解读] Discrete choice prox-functions on the simplex

David A. Muller, Yurii Nesterov+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2019

Consumer Market Behavior and Pricing被引用 2

一句话总结

本文提出了一种基于可加随机效用模型（特别是广义极值模型和嵌套对数模型）的单纯形上的离散选择邻近函数。这些邻近函数是盈余函数的共轭凸函数，可支持具有自然概率解释的邻近次梯度方法。主要贡献是一种对偶平均方案，将消费者行为建模为消费循环，实现了效用最大化问题中对偶间隙的最优收敛速率 O(1/√k)。

ABSTRACT

We derive new prox-functions on the simplex from additive random utility models of discrete choice. They are convex conjugates of the corresponding surplus functions. In particular, we explicitly derive the convexity parameter of discrete choice prox-functions associated with generalized extreme value models, and specifically with generalized nested logit models. Incorporated into subgradient schemes, discrete choice prox-functions lead to natural probabilistic interpretations of the iteration steps. As illustration we discuss an economic application of discrete choice prox-functions in consumer theory. The dual averaging scheme from convex programming naturally adjusts demand within a consumption cycle.

研究动机与目标

• 开发基于离散选择理论的单纯形上新型邻近函数。
• 通过共轭凸函数建立可加随机效用模型与凸优化之间的联系。
• 利用邻近方法为消费者理论中的次梯度迭代提供行为解释。
• 通过用更广泛的离散选择框架替代对数模型，推广现有的消费循环模型。
• 为广义极值模型和嵌套对数模型显式推导凸性参数。

提出的方法

• 从可加随机效用模型中推导邻近函数作为盈余函数的共轭凸函数。
• 证明该共轭凸函数在单纯形上具有连续性、强凸性及可计算性。
• 显式计算广义极值模型和广义嵌套对数模型的凸性参数 β。
• 将邻近函数整合入凸优化的对偶平均方案中。
• 通过归一化变量 p(i) = σ(i)λ(i) 重述对偶问题，以在单纯形上定义一个辅助问题。
• 使用邻近中心 p₀ = arg minₚ∈∆ d(p) 初始化对偶平均方案。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用离散选择模型在单纯形上构造具有优良优化性质的新邻近函数？
• RQ2 从广义极值模型导出的邻近函数的凸性参数 β 是什么？
• RQ3 对偶平均方案能否被解释为消费者理论中的自然消费循环？
• RQ4 迭代步骤的概率解释如何从盈余函数的共轭凸函数中自然产生？
• RQ5 所提出的消费循环框架中，对偶间隙的收敛速率是多少？

主要发现

• 可加随机效用模型中盈余函数的共轭凸函数是单纯形上有效的邻近函数，满足连续性、强凸性及可计算性。
• 对于广义极值模型，凸性参数 β 已显式推导，从而可获得更紧的复杂度界。
• 对于广义嵌套对数模型，凸性参数也已显式计算，扩展了该框架的适用范围。
• 对偶平均方案导致一种消费循环，其中内部价格通过与可加随机效用模型一致的概率规则进行更新。
• 原始问题与对偶问题之间的对偶间隙以最优速率 O(1/√k) 收敛，其界与 (D + M²/β)/√(k+1) 成正比。
• 收敛界依赖于随机误差的期望范围 E[ǫ(i)] 和最大次梯度范数 M，而 M 与各类商品的质量与价格比的最大值成正比。