[论文解读] Discrete compactness for the p-version of discrete differential forms

Daniele Boffi, Martin Costabel+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2009

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文通过在 $ ^d$ 中的多面体域上使用广义 Nédélec 边元，建立了 $p$-版本 $H(\operatorname{curl})$-符合有限元方法的离散紧致性性质。借助平滑化的 Poincaré 提升算子与基于投影的插值，证明了广泛使用的边有限元族在 2D 和 3D 中对 Maxwell 特征值问题具有谱收敛性且无虚假模式。

ABSTRACT

In this paper we prove the discrete compactness property for a wide class of p-version finite element approximations of non-elliptic variational eigenvalue problems in two and three space dimensions. In a very general framework, we find sufficient conditions for the p-version of a generalized discrete compactness property, which is formulated in the setting of discrete differential forms of any order on a d-dimensional polyhedral domain. One of the main tools for the analysis is a recently introduced smoothed Poincaré lifting operator [M. Costabel and A. McIntosh, On Bogovskii and regularized Poincaré integral operators for de Rham complexes on Lipschitz domains, Math. Z., (2010)]. For forms of order 1 our analysis shows that several widely used families of edge finite elements satisfy the discrete compactness property in p-version and hence provide convergent solutions to the Maxwell eigenvalue problem. In particular, Nédélec elements on triangles and tetrahedra (first and second kind) and on parallelograms and parallelepipeds (first kind) are covered by our theory.

研究动机与目标

• 建立 2D 和 3D 中 $H(\operatorname{curl})$-符合有限元方法的 $p$-版本的离散紧致性性质。
• 为多面体域上阶数为 $\ell$ 的离散微分形式的 $p$-版本提供一个通用分析框架。
• 验证标准边有限元族在 $p$-型加密下满足离散紧致性性质。
• 将 Maxwell 特征值问题的收敛性分析扩展至可变材料系数和一般 $p$-型加密策略。
• 证明在三角形、四面体、平行四边形和长方体上，Nédélec 元的 $p$-版本可产生无虚假模式且谱正确的逼近。

提出的方法

• 利用近期发展的平滑化 Poincaré 提升算子，确保与离散微分形式的连续性与相容性。
• 应用具有 $p$-一致有界性的 $L^2$-范数的基于投影的插值算子，其来源于 $p$-版本有限元的最新误差估计。
• 通过有限元空间与插值算子的一组自然假设，建立离散紧致性性质。
• 依赖迹定理与 Sobolev 正则性估计，确保 $\ell$-形式在低维面片上的迹定义良好。
• 利用离散微分形式理论的抽象框架，将分析推广至标准有限元空间之外。
• 通过在 $H(\operatorname{curl})$-符合边元（包括各类单元上的一类与二类 Nédélec 元）上的应用验证该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 标准 $p$-版本边有限元族是否满足 Maxwell 特征值问题的离散紧致性性质？
• RQ2 能否利用离散微分形式的通用框架，为 $H(\operatorname{curl})$-符合 $p$-加密有限元建立离散紧致性性质？
• RQ3 对插值算子与提升算子施加何种条件，可确保非椭圆特征值问题的 $p$-版本离散化收敛？
• RQ4 该理论在 Maxwell 特征值问题中可扩展至一般材料系数 $\epsilon$ 和 $\mu$ 的程度如何？
• RQ5 为何当前方法无法扩展至 $hp$-加密或 $d > 3$ 维度？

主要发现

• 在三角形、四面体、平行四边形和长方体上，Nédélec 边元的 $p$-版本满足离散紧致性性质。
• 离散紧致性性质确保 $p$-版本 Galerkin 方法对 Maxwell 特征值问题的逼近具有谱收敛性且无虚假模式。
• 平滑化 Poincaré 提升算子实现了均匀连续性与与离散微分形式的相容性，构成关键技术工具。
• 该分析适用于均匀正定的通用材料系数 $\epsilon$ 和 $\mu$，扩展了对归一化情况的分析。
• 由于在变多项式次数下难以保持投影算子的 $L^2$-有界性，该理论未涵盖 $hp$-加密。
• 由于迹正则性限制及高维多面体元缺乏 $p$-一致有界性结果，向 $d > 3$ 维度的推广受阻。