[论文解读] Discrete Components of Some Complementary Series (II)

T. N. Venkataramana B. Speh|arXiv (Cornell University)|May 19, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 2被引用 5

一句话总结

该论文证明了，当互补系列表示 $SO(n,1)$ 足够接近共轭表示时，其在 $SO(n-1,1)$ 上的相应互补系列表示中离散出现，前提是共轭度数 $i \leq m/2$。作为推论，$SO(n,1)$ 的共轭表示在度数 $i$ 下，若 $i \leq m/2$，则离散地包含 $SO(m,1)$ 的共轭表示，且该结果将伯杰龙关于自守形式中谱隙的猜想简化为温良共轭表示的情形。

ABSTRACT

We show that complementary series of SO(n,1) which are sufficiently close to a cohomological representation in the Fell topology, upon restriction to SO(n-1,1), contain discretely, complementary series for SO(n-1,1) which are also sufficiently close to cohomological representations. As a global application, we show that if the non-zero eigenvalues of the Laplacian for differential forms of middle degree on congruence quotients of the hyperbolic n-space remain bounded away from zero (for all even n), then nonzero eigenvalues of the Laplacian on forms of arbitrary degree remain bonded away from zero; this reduces conjectures of Clozel and Bergeron to the case of middle degree forms.

研究动机与目标

• 在特定参数条件下，建立 $SO(n-1,1)$ 的互补系列表示在 $SO(n,1)$ 的互补系列表示中离散出现的结论。
• 证明当 $i \leq m/2$ 时，$SO(n,1)$ 的度数为 $i$ 的共轭表示离散地包含 $SO(m,1)$ 的共轭表示。
• 将结果全局应用，证明若温良共轭表示不是互补系列的极限，则非温良共轭表示在 $G$ 的自守对偶中是孤立的。
• 将伯杰龙关于自守形式中谱隙的猜想简化为温良共轭表示的情形。

提出的方法

• 使用归一化诱导构造互补系列表示 $\widehat{\pi_u(i)} = \mathrm{Ind}_P^G(\wedge^i \otimes \rho_P(a)^u)$，其中 $G = SO(n,1)$。
• 通过抛物诱导，利用参数 $u' = \frac{(n-1)u - 1}{n-2}$，为 $H = SO(n-1,1)$ 构造一个相关的互补系列 $\widehat{\sigma_{u'(i)}}$。
• 使用施瓦兹空间技巧和 $W' \times \mathbb{R}$ 上的傅里叶分析，分析 $\widehat{\pi_u(i)}$ 对 $H$ 的限制。
• 应用布尔格尔-萨尔纳克方法，将表示论结果与局部对称空间上拉普拉斯特征值的谱隙联系起来。
• 使用伴随映射 $J^*$ 和限制映射 $\mathrm{res}$，证明 $\mathcal{A}_H \circ J^* = \mathrm{res} \circ \mathcal{A}_G$，从而证明等变性与连续性。
• 应用 $A$-表示理论和互补系列极限理论，推导出在 $u \to 1 - \frac{2i}{n-1}$ 极限下的离散分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$SO(n,1)$ 的互补系列表示会离散地包含子群 $SO(n-1,1)$ 的互补系列表示？
• RQ2 当 $i \leq (n-1)/2$ 时，$SO(n,1)$ 的共轭表示 $A_i(n)$ 是否会离散地包含 $SO(n-1,1)$ 的共轭表示 $A_i(n-1)$？
• RQ3 伯杰龙关于自守形式中统一谱隙的猜想是否可简化为温良共轭表示的情形？
• RQ4 互补系列表示中参数 $u$ 与 $u'$ 在 $SO(n,1)$ 和 $SO(n-1,1)$ 中的精确关系为何？
• RQ5 互补系列表示对子群的限制在完备化层面上如何表现？为何在 $K$-有限向量层面上包含关系会失效？

主要发现

• 当 $\frac{1}{n-1} < u < 1 - \frac{2i}{n-1}$ 时，$SO(n-1,1)$ 的互补系列表示 $\widehat{\sigma_{u'(i)}}$ 离散地出现在 $SO(n,1)$ 的 $\widehat{\pi_u(i)}$ 的限制中。
• 当 $u \to 1 - \frac{2i}{n-1}$ 时，参数 $u'$ 趋近于 $1 - \frac{2i}{n-2}$，从而将 $SO(n,1)$ 和 $SO(n-1,1)$ 的互补系列极限联系起来。
• 若 $i \leq \lfloor n/2 \rfloor - 1$，则 $SO(n,1)$ 的度数为 $i$ 的共轭表示 $A_i(n)$ 离散地包含 $SO(n-1,1)$ 的共轭表示 $A_i(n-1)$。
• 通过归纳法，$SO(2i,1)$ 的离散系列表示 $A_i(2i)$ 离散地包含于 $SO(2i,1)$ 的共轭表示 $A_i$ 中。
• 若 $SO(n,1)$ 的温良共轭表示在自守对偶中不是互补系列的极限，则所有非温良共轭表示在自守对偶中都是孤立的。
• 该结果将伯杰龙关于双曲空间同余商上拉普拉斯特征值谱隙的猜想，简化为温良共轭表示的情形。