[论文解读] Discrete Crum's Theorems and Integrable Lattice Equations

Cheng Zhang, Linyu Peng+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2018

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文针对通过可积离散化方法从KdV和mKdV/sine-Gordon谱问题导出的两个二阶差分方程，发展了离散Crum定理。通过应用N步Darboux变换，作者构建了多孤子解，并推导出格点可积方程——格点势KdV方程、格点势mKdV方程和格点Schwarzian KdV方程，表明离散Crum定理为连续、半离散和格点可积系统提供了统一的精确解生成框架。

ABSTRACT

In this paper, we develop discrete versions of Darboux transformations and Crum's theorems for two second order difference equations. The difference equations are discretised versions (using Darboux transformations) of the spectral problems of the KdV quation, and of the modified KdV equation or sine-Gordon equation. Considering the discrete dynamics created by Darboux transformations for the difference equations, one obtains the lattice potential KdV equation, the lattice potential modified KdV equation and the lattice Schwarzian KdV equation, that are prototypes of integrable lattice equations. It turns out that, along the discretisation processes using Darboux transformations, two families of integrable systems (the KdV family, and the modified KdV or sine-Gordon family), including their continuous, semi-discrete and lattice versions, are explicitly constructed. As direct applications of the discrete Crum's theorems, multi-soliton solutions of the lattice equations are obtained.

研究动机与目标

• 为源自Schrödinger算子和mKdV/sine-Gordon谱问题的精确离散化形式的二阶差分方程，发展Crum定理的离散版本。
• 建立系统化方法，利用N步Darboux变换生成可积格点方程的多孤子解。
• 证明在离散谱问题上应用Darboux变换可自然导出格点可积方程，如lpKdV、lpmKdV和lSKdV。
• 阐明离散Crum定理与可积格点系统中三维一致性性质之间的联系。
• 探索该框架向高阶方程及其他来自Adler-Bobenko-Suris分类的多维一致方程的扩展潜力。

提出的方法

• 将Darboux的因式分解方法应用于二阶差分方程，将其视为连续Schrödinger和mKdV谱问题的离散类比。
• 为离散Schrödinger型方程构造N步Darboux变换，以类似Crum定理的紧凑行列式形式表达变换。
• 利用离散谱变量与Darboux变换参数之间的相容性条件，推导出差分-差分系统，如格点势KdV方程。
• 证明所得格点方程（lpKdV、lpmKdV、lSKdV）满足三维一致性性质，确认其可积性。
• 通过将离散Crum定理应用于种子解，显式构造多孤子解，得到包含theta函数与参数乘积的表达式。
• 建立Möbius变换在不同格点方向间关联解的关系，保持格点Schwarzian KdV方程的分式线性不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为KdV和mKdV谱问题的精确离散化形式的二阶差分方程，形式化离散Crum定理？
• RQ2 在离散谱问题上，N步Darboux变换如何生成如lpKdV和lSKdV等可积格点方程？
• RQ3 三维一致性在通过Darboux变换导出的格点系统可积性中起什么作用？
• RQ4 离散Crum定理能否用于构造格点势KdV及相关方程的显式多孤子解？
• RQ5 本文所发展的离散Crum定理与离散量子力学或其他可积系统框架之间是否存在联系？

主要发现

• 本文为两个离散Schrödinger型方程建立了离散Crum定理，利用类似行列式的结构，给出了N步Darboux变换的紧凑表达式。
• 将N步Darboux变换应用于离散Schrödinger方程，其相容性条件导出格点势KdV方程。
• 对于第二个差分方程，Darboux变换的相容性导出格点势mKdV方程和格点Schwarzian KdV（交比）方程。
• 所导出的格点方程——lpKdV、lpmKdV和lSKdV——表现出三维一致性，证实其可积性，并与Adler-Bobenko-Suris分类一致。
• 显式构造了格点Schwarzian KdV方程的N孤子解，形式为 $ z^{Nss} = \rho\thinspace s^{-2n}t^{-2m}\thinspace \bar{\bar{\theta}}_N \theta_N^{-1} $，与Cauchy矩阵方法的已知结果一致。
• 该框架表明，对所考虑系统进行Darboux变换不会产生新的差分方程，暗示可积性与多维一致性之间存在深刻联系。