[论文解读] Discrete dynamics in implicit form

David Iglesias, J.C. Marrero+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2010

Numerical methods for differential equations参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在李群胚上离散隐式差分方程的几何框架，推广了离散拉格朗日力学与非完整动力学。它提出了一个可积性算法，用于提取前向和后向一致的解，并证明了在李群胚 G 上的离散拉格朗日系统对应于余切群胚 T*G 上的拉格朗日隐式差分方程，从而扩展了经典离散力学与几何积分方法。

ABSTRACT

A notion of implicit difference equation on a Lie groupoid is introduced and an algorithm for extracting the integrable part (backward or/and forward) is formulated. As an application, we prove that discrete Lagrangian dynamics on a Lie groupoid $G$ may be described in terms of Lagrangian implicit difference equations of the corresponding cotangent groupoid $T^*G$. Other situations include finite difference methods for time-dependent linear differential-algebraic equations and discrete nonholonomic Lagrangian systems, as particular examples.

研究动机与目标

• 开发李群胚上离散隐式差分方程的几何理论，推广经典离散力学。
• 提出一种从隐式差分系统中提取可积（前向和/或后向）解的算法。
• 证明在李群胚 G 上的离散拉格朗日动力学等价于余切群胚 T*G 上的拉格朗日隐式差分方程。
• 将该框架扩展至包含时变线性微分代数方程的有限差分方法以及离散非完整系统。
• 为通过离散隐式动力学构造连续拉格朗日系统的几何积分方法提供几何基础。

提出的方法

• 本文将隐式差分方程定义为子流形 D ⊂ G × G（其中 G 为李群胚），推广了在切丛上隐式微分方程的概念。
• 提出一种基于投影与切丛提升的递归算法：D^k = D^{k-1} ∩ T C^{k-1}，其中 C^k = τ_G(D^k)，τ_G 为终点投影。
• 在光滑性假设下，该算法在有限步后稳定，得到可积部分 D̄ = D^k̄，其支持一致的离散轨迹。
• 对于离散拉格朗日系统，本文从拉格朗日函数 L: G → ℝ 构造离散 Legendre 变换 F⁺L 和 F⁻L，映射至李代数从丛 AG* 的对偶。
• 证明当 L 为正则时，离散欧拉-拉格朗日方程在 T*(TG) 中定义了一个拉格朗日子流形，推广了 Tulczyjew 的辛方法至离散力学。
• 对于非完整系统，该方法引入约束分布 D_c 与约束子流形 M_c，通过修改后的 Legendre 映射 F±(L, M_c, D_c) 将动力学限制在约束空间内。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在李群胚上几何化地表述隐式差分方程，以推广在切丛上的隐式微分方程？
• RQ2 何种算法可确保从李群胚上的隐式差分系统中提取一致的前向与后向离散轨迹？
• RQ3 在李群胚 G 上的离散拉格朗日动力学如何对应于余切群胚 T*G 上的拉格朗日隐式差分方程？
• RQ4 该框架能否将时变线性微分代数方程的有限差分格式作为特例容纳？
• RQ5 在隐式差分方程框架下，离散非完整系统如何描述？约束分布与子流形起到何种作用？

主要发现

• 在光滑性条件下，可积性算法在有限步后稳定，得到唯一可积部分 D̄ ⊆ D，其支持一致的离散轨迹。
• 在李群胚 G 上的离散拉格朗日动力学等价于余切群胚 T*G 上的拉格朗日隐式差分方程，推广了 Tulczyjew 的辛方法。
• 对于正则拉格朗日函数，离散 Legendre 变换 F⁺L 和 F⁻L 为局部微分同胚，确保离散演化算子 Υ_L 的存在性与唯一性。
• 当拉格朗日函数为超正则时，离散演化算子全局表示为 Υ_L = (F⁻L)⁻¹ ∘ F⁺L，而哈密顿演化为 Υ̃_L = F⁺L ∘ (F⁻L)⁻¹。
• 在非完整情形下，离散欧拉-拉格朗日方程等价于条件 F⁻(L, M_c, D_c)(h) = F⁺(L, M_c, D_c)(g)，确保与约束分布的一致性。
• 该框架可将时变线性微分代数方程的有限差分方法作为特例容纳，展示了其广泛适用性。