[论文解读] Discrete excursions

Mireille Bousquet‐Mélou|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics被引用 12

一句话总结

本文证明了任意有限步长集合 𝒮 ⊂ ℤ 的广义 Dyck 路径（即上升路径）的生成函数是代数函数，其最小多项式由对称函数与递推结构决定。本文进一步证明，高度有界的上升路径生成函数 E^(k)(t) 是有理函数，且可表示为 F_k / F_{k+1} 的形式，其中多项式序列 F_k 满足一个阶数为 d_{a,b} = (a+b choose a) 的线性递推关系，且完整生成函数 E(t) 满足一个最小多项式，其次数为 d_{a,b}，在一般情形下（包括 𝒮 = {−b, a} 且 gcd(a,b)=1 的情形）该多项式不可约。

ABSTRACT

It is well-known that the length generating function E(t) of Dyck paths (excursions with steps +1 and -1) satisfies 1-E+t^2E^2=0. The generating function E^(k)(t) of Dyck paths of height at most k is E^(k)=F_k/F_{k+1}, where the F_k are polynomials in t given by F_0=F_1=1 and F_{k+1}= F_k-t^2F_{k-1}. This means that the generating function of these polynomials is \sum_{k\ge 0} F_k z^k= 1/(1-z+t^2z^2). We note that the denominator of this fraction is the minimal polynomial of the algebraic series E(t). This pattern persists for walks with more general steps. For any finite set of steps S, the generating function E^(k)(t) of excursions (generalized Dyck paths) taking their steps in S and of height at most k is the ratio F_k/F_{k+1} of two polynomials. These polynomials satisfy a linear recurrence relation with coefficients in Q[t]. Their (rational) generating function can be written \sum_{k\ge 0} F_k z^k= N(t,z)/D(t,z). The excursion generating function E(t) is algebraic and satisfies D(t,E(t))=0 (while N(t,E(t)) ot = 0). If max S=a and min S=b, the polynomials D(t,z) and N(t,z) can be taken to be respectively of degree d_{a,b}=binomial(a+b,a) and d_{a,b}-a-b in z. These degrees are in general optimal: for instance, when S={a,-b} with a and b coprime, D(t,z) is irreducible, and is thus the minimal polynomial of the excursion generating function E(t). The proofs of these results involve a slightly unusual mixture of combinatorial and algebraic tools, among which the kernel method (which solves certain functional equations), symmetric functions, and a pinch of Galois theory.

研究动机与目标

• 确定任意有限步长集合 𝒮 ⊂ ℤ 下上升路径生成函数 E(t) 的代数次数与最小多项式。
• 刻画高度有界为 k 的上升路径的生成函数 E^(k)(t)，并证明其为多项式之比 F_k / F_{k+1}。
• 建立序列 (F_k) 满足一个系数属于 ℚ[t] 的线性递推关系，其阶数为 d_{a,b} = (a+b choose a)，且对 k > d_{a,b} - a - b 成立。
• 证明生成函数 ∑_k F_k z^k 是有理函数，并可通过施鲁夫函数与 plethysms 表示，从而将组合学与对称函数理论联系起来。

提出的方法

• 将核方法应用于由上升路径首次通过分解导出的函数方程，从而精确求解生成函数方程。
• 通过转移矩阵法与对偶雅可比-特鲁迪恒等式，推导出多项式 F_k 的递推结构，将其与矩形施鲁夫函数联系起来。
• 使用初等对称函数与完全对称函数表达生成函数 ∑_k F_k z^k，其系数通过在大小为 a+b 的字母表上对 e_k[e_a] 进行 plethysm 计算得到。
• 应用伽罗瓦理论分析 E(t) 的最小多项式 D(t,z) 的不可约性，尤其在对称情形如 𝒮 = {−a,a} 或 𝒮 = {−b,a}（gcd(a,b)=1）下。
• 证明矩形施鲁夫函数 s_{k^a} 的生成函数是有理函数，其分母次数为 (n choose a)，分子次数为 (n choose a) − n，其中 n = a + b。
• 通过 ACE 软件包显式推导出有理生成函数的分子多项式 P(z) 的表达式，其形式基于对称函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当步长集合 𝒮 = {−b, a} 且 a 与 b 互素时，上升路径生成函数 E(t) 的代数次数是多少？
• RQ2 高度有界为 k 的上升路径生成函数 E^(k)(t) 是否可表示为 F_k / F_{k+1}？多项式序列 F_k 是否满足系数属于 ℚ[t] 的线性递推关系？
• RQ3 最小多项式 D(t,z) 的精确次数是多少？在何种条件下其不可约？
• RQ4 如何用对称函数表达生成函数 ∑_k F_k z^k？其有理结构是怎样的？
• RQ5 多项式序列 F_k 的递推阶数与步长集合 𝒮 的组合结构之间有何联系？

主要发现

• 当 gcd(a,b)=1 时，步长集合 𝒮 = {−b, a} 的上升路径生成函数 E(t) 是代数函数，其代数次数恰好为 (a+b choose a)，且其最小多项式 D(t,z) 不可约。
• 高度至多为 k 的上升路径生成函数 E^(k)(t) 是有理函数，且等于 F_k / F_{k+1}，其中序列 (F_k) 满足阶数为 (a+b choose a) 的线性递推关系，且对 k > (a+b choose a) − a − b 成立。
• 生成函数 ∑_k F_k z^k 是有理函数，且等于 N(t,z)/D(t,z)，其中 D(t,z) 是 E(t) 的最小多项式，且 D(t,z) 关于 z 的次数为 (a+b choose a)。
• 多项式 F_k 可表示为大小为 k 的行列式，或表示为 a × k 的矩形施鲁夫函数，后者表达式的大小恒为 a+b。
• 对于对称步长集合如 𝒮 = {−a, a}，E(t) 的次数至多为 2^a，且当核多项式的伽罗瓦群为二面体群（阶为 8）时该界是紧的，例如在 𝒮 = {−2,2} 的情形下。
• 有理生成函数 ∑_k F_k z^k 的分子多项式 P(z) 的系数为施鲁夫正或施鲁夫负，且对小规模情形（如 a=2, n=4,5 和 a=3, n=6）已推导出显式表达式。