[论文解读] Discrete fractional Calculus and Inequalities

George A. Anastassiou|ArXiv.org|Nov 17, 2009

Numerical methods in engineering参考文献 3被引用 41

一句话总结

本文引入了一类Caputo型离散分数阶差分，并建立了首个具有显式余项估计的离散分数阶泰勒公式。通过在离散域上使用分数阶求和与差分算子，推导出新颖的离散分数阶不等式，包括Ostrowski、Poincaré和Sobolev型界，应用于函数逼近与离散分数阶微积分中的误差分析。

ABSTRACT

Here we define a Caputo like discrete fractional difference and we compare it to the earlier defined Riemann-Liouville fractional discrete analog. Then we produce discrete fractional Taylor formulae for the first time, and we estimate their remainders. Finally, we derive related discrete fractional Ostrowski, Poincare and Sobolev type inequalities.

研究动机与目标

• 定义一种类似Caputo的离散分数阶差分算子，并与Riemann-Liouville型对应物进行比较。
• 为非整数阶分数阶差分开发首个带有余项估计的离散分数阶泰勒公式。
• 利用分数阶求和与差分算子，推导出新的离散分数阶不等式——Ostrowski、Poincaré和Sobolev型。
• 通过范数和分数阶导数的加权和，建立离散分数阶设定下函数的界。
• 为离散分数阶微积分提供理论基础，适用于数值分析与逼近理论。

提出的方法

• 通过Pochhammer符号的离散卷积定义$ν$阶分数阶求和：$\Delta^{-\nu}f(t,a) = \frac{1}{\Gamma(\nu)}\sum_{s=a}^{t-\nu}(t-s-1)^{(\nu-1)}f(s)$。
• 为$\mu > 0$，$m = \lceil \mu \rceil$，$\nu = m - \mu$，引入Caputo型分数阶差分$\Delta_{\ast}^{\mu}f(t) = \Delta^{-\nu}(\Delta^m f(t))$。
• 推导离散分数阶泰勒公式：$f(t) = \sum_{k=0}^{m-1}\frac{(t-a)^{(k)}}{k!}\Delta^k f(a) + \frac{1}{\Gamma(\mu)}\sum_{s=a+\nu}^{t-\mu}(t-s-1)^{(\mu-1)}\Delta_{\ast}^{\mu}f(s)$，对$t \in \mathbb{N}_{a+m}$成立。
• 应用离散Hölder不等式，以分数阶导数表示函数的$\ell^r$-范数的界。
• 通过加权和与算子范数，推导涉及$\Delta_{\ast}^{\mu_l}f(s)$和正权函数$C_l(s)$的Sobolev型不等式。
• 通过$\delta^* = \max_{1\leq l\leq k}\left\{ \frac{1}{(\Gamma(\mu_l))^2}\left[\sum_{j=a+m_l}^{b}\left(\sum_{s=a+\nu_l}^{j-\mu_l}\left((j-s-1)^{(\mu_l-1)}\right)^2\right)^{r/2}\right]^{2/r} \right\}$和$\varrho^* = \max_{1\leq l\leq k}\left|\left(\frac{1}{C_l(s)}\right)\right|_{\infty,[a+\nu_l,b-\mu_l]}$建立界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在离散分数阶微积分框架内一致地定义Caputo型离散分数阶差分？
• RQ2 非整数阶分数阶差分的离散分数阶泰勒展开（含余项）的形式是什么？
• RQ3 离散分数阶Ostrowski和Poincaré型不等式在界方面与连续情形相比如何？
• RQ4 在什么条件下，离散区间上函数的$\ell^r$-范数可被其分数阶导数的加权和所控制？
• RQ5 能否在离散分数阶设定下，利用多个分数阶阶数和权函数建立Sobolev型不等式？

主要发现

• 离散分数阶泰勒公式（3）为$t \in \mathbb{N}_{a+m}$提供了$f(t)$的精确表示，将其分解为在$a$处的整数阶差分与Caputo导数的分数阶积分。
• 泰勒公式的余项通过$\frac{1}{\Gamma(\mu)}\sum_{s=a+\nu}^{t-\mu}(t-s-1)^{(\mu-1)}\Delta_{\ast}^{\mu}f(s)$有界，确保了$\mu > 0$时的收敛性。
• 对于$r \geq 1$，$\Delta^p f$的$\ell^r$-范数被一个核范数与$\Delta_{\ast}^\mu f$的$\ell^\delta$-范数的乘积所控制，其中$\delta > 1$，且满足$1/\gamma + 1/\delta = 1$。
• 离散分数阶Ostrowski型不等式（33）给出$\|f\|_{r,[a+m_k,b]} \leq \sqrt{\delta^* \varrho^*} \left(\frac{\sum_{l=1}^k B_l}{k}\right)^{1/2}$，其中$B_l = \sum_{s=a+\nu_l}^{b-\mu_l} C_l(s)(\Delta_{\ast}^{\mu_l}f(s))^2$。
• $\delta^*$捕捉了离散核的$L^{r/2}$-范数的影响，而$\varrho^*$控制了权的倒数，使得在最优权选择下可实现精确估计。
• 当初始差分$\Delta^\tau f(a) = 0$对$\tau = 0,\dots,m_k-1$成立时，Sobolev型不等式（37）为$\|f\|_{r,[a+m_k,b]}$提供了统一的以加权分数阶导数表示的界。