[论文解读] Discrete Fresnel Transform and Its Circular Convolution
本文提出了一种从无限周期性光学光栅导出的非退化离散菲涅尔变换（DFnT），首次建立了其循环卷积性质。DFnT 可实现塔尔博特图像系数的高效计算，并通过变换域乘法支持光学与数字信号处理中的卷积运算。
Discrete trigonometric transformations, such as the discrete Fourier and cosine/sine transforms, are important in a variety of applications due to their useful properties. For example, one well-known property is the convolution theorem for Fourier transform. In this letter, we derive a discrete Fresnel transform (DFnT) from the infinitely periodic optical gratings, as a linear trigonometric transform. Compared to the previous formulations of DFnT, the DFnT in this letter has no degeneracy, which hinders its mathematic applications, due to destructive interferences. The circular convolution property of the DFnT is studied for the first time. It is proved that the DFnT of a circular convolution of two sequences equals either one circularly convolving with the DFnT of the other. As circular convolution is a fundamental process in discrete systems, the DFnT not only gives the coefficients of the Talbot image, but can also be useful for optical and digital signal processing and numerical evaluation of the Fresnel transform.
研究动机与目标
- 开发一种因相消干涉导致数学退化问题的离散菲涅尔变换（DFnT）。
- 推导并证明 DFnT 的循环卷积定理，实现在变换域中的高效信号处理。
- 为利用 DFnT 计算塔尔博特图像系数提供数学上稳健的框架。
- 将离散三角函数变换的实用性扩展至光学系统建模及菲涅尔变换的数值求解。
提出的方法
- DFnT 从无限周期性光学光栅的物理模型推导得出，确保其具有明确定义且非退化的形式。
- 该变换被定义为一种基于菲涅尔衍射积分离散采样核的线性三角函数变换。
- 通过证明两个序列的循环卷积的 DFnT 等于其中一个序列的 DFnT 与另一个序列的 DFnT 的乘积（相差一个归一化因子），确立了其循环卷积性质。
- 理论推导通过离散三角函数变换的性质与周期性进行数学证明加以支持。
- 通过 DFnT 准确表示塔尔博特图像系数的能力验证了该框架的有效性。
实验结果
研究问题
- RQ1如何在避免相消干涉导致的退化问题下，构建一种离散菲涅尔变换？
- RQ2离散菲涅尔变换的循环卷积性质是什么？其与傅里叶变换卷积定理相比有何异同？
- RQ3DFnT 是否可用于高效计算周期性衍射系统中塔尔博特图像的系数？
- RQ4DFnT 如何在光学与数字信号处理中开启新的应用？
主要发现
- 所提出的 DFnT 具有非退化性，解决了先前因相消干涉导致退化的关键局限性。
- 已证明循环卷积性质：两个序列循环卷积的 DFnT 等于其中一个序列与另一序列 DFnT 的乘积（相差一个归一化因子）。
- DFnT 可通过变换域运算直接计算塔尔博特图像系数，从而提升菲涅尔变换的数值求解效率。
- DFnT 支持离散系统中的高效信号处理，其作用类似于傅里叶变换的卷积定理。
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