[论文解读] Discrete Mathematics and Physics on the Planck-Scale

Manfred Requardt|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 1995

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文提出了一种在普朗克尺度下的离散细胞网络模型，其中细胞和键代表动力学变量，从而为离散分析提供新框架，并基于连通性提出一种拓扑维数概念。该研究表明，四维空间时间可通过网络连通性类似相变的变化自然涌现，为经典空间时间维数提供了物理基础。

ABSTRACT

Starting from the hypothesis that both physics, in particular space-time and the physical vacuum, and the corresponding mathematics are discrete on the Planck scale we develop a certain framework in form of a '{\it cellular network}' consisting of cells interacting with each other via bonds. Both the internal states of the cells and the "strength" of the bonds are assumed to be dynamical variables. In section 3 the basis is laid for a version of '{\it discrete analysis}' which, starting from different, perhaps more physically oriented principles, manages to make contact with the much more abstract machinery of Connes et al. and may complement the latter approach. In section 4 a, as far as we can see, new concept of '{\it topological dimension}' in form of a '{\it degree of connectivity}' for graphs, networks and the like is developed. It is then indicated how this '{\it dimension}', which for continuous structures or lattices being embedded in a continuous background agrees with the usual notion of dimension, may change dynamically as a result of a '{\it phase transition like}' change in '{\it connectivity}' in the network. A certain speculative argument, along the lines of statistical mechanics, is supplied in favor of the naturalness of dimension 4 of ordinary (classical) space-time.

研究动机与目标

• 通过细胞网络框架，在普朗克尺度下构建时空与物理真空的离散模型。
• 基于物理上合理的原理，建立与非交换几何（Connes 等人）相联系的离散分析基础。
• 提出一种基于网络连通度的新型拓扑维数概念。
• 探索该维数如何动态变化，可能解释经典四维时空的涌现。

提出的方法

• 将时空建模为由离散细胞通过键连接的网络，将细胞状态和键强度均视为动力学变量。
• 将维数的新概念定义为图和网络中的“连通度”，将其推广至连续流形之外的范畴。
• 使用统计力学类比的论证，分析可能导致维数变化的网络连通性相变。
• 建立该离散框架与非交换几何抽象工具（尤其是 Connes 的方法）之间的对应关系。
• 从第一性原理出发，构建此类网络上的离散分析与微积分类比，使物理动力学可在无需连续流形的前提下被描述。
• 研究网络维数在连通性变化下的演化过程，提出四维稳定化的机制。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使离散细胞网络模型再现连续时空的性质，尤其是其维数？
• RQ2 基于图中连通性的新维数定义，是否能在适当极限下产生与经典时空维数一致的结果？
• RQ3 何种动力学机制可能导致从更基本的离散网络中类似相变地涌现四维时空？
• RQ4 该离散框架如何与非交换几何的抽象数学工具相联系？
• RQ5 何种物理原理可解释此类离散模型中四维的自然涌现？

主要发现

• 提出一种新的拓扑维数概念，即网络中的“连通度”，在连续或晶格状结构中可退化为标准维数。
• 由于连通性类似相变的变化，网络的维数可动态改变，暗示了维数演化的机制。
• 该框架为四维时空的涌现提供了物理基础，其支持依据为一种推测性的统计力学论证，倾向于四维。
• 该模型通过物理上合理的原理，建立了离散物理与非交换几何（尤其是 Connes 等人的工作）之间的桥梁。
• 从第一性原理出发发展了离散分析，为无需依赖连续极限的离散时空动力学提供了基础。