[论文解读] Discrete maximal regularity and the finite element method for parabolic equations

Tomoya Kemmochi, Norikazu Saito|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文为应用于线性和半线性抛物方程的有限元方法建立了离散最大正则性版本。通过基于算子纯虚幂的算子理论技术，推导出质量集中有限元格式在 $L^p(0,T;L^q(\theta))$ 范数下的最优误差估计，适用于线性热方程和具有局部Lipschitz非线性的半线性问题。

ABSTRACT

Maximal regularity is a fundamental concept in the theory of partial differential equations. In this paper, we establish a fully discrete version of maximal regularity for a parabolic equation. We derive various stability results in $L^p(0,T;L^q(Ω))$ norm, $p,q\in (1,\infty)$ for the finite element approximation with the mass-lumping to the linear heat equation. Our method of analysis is an operator theoretical one using pure imaginary powers of operators and might be a discrete version of G.~Dore and A.~Venni (On the closedness of the sum of two closed operators. \emph{Math.\ Z.}, 196(2):189--201, 1987). As an application, optimal order error estimates in that norm are proved. Furthermore, we study the finite element approximation for semilinear heat equations with locally Lipschitz continuous nonlinearity and offer a new method for deriving optimal order error estimates. Some interesting auxiliary results including discrete Gagliardo-Nirenberg and Sobolev inequalities are also presented.

研究动机与目标

• 通过有限元方法建立抛物方程离散最大正则性理论。
• 为线性和半线性热方程在 $L^p(0,T;L^q(\theta))$ 范数下推导稳定性和最优误差估计。
• 为具有局部Lipschitz非线性的半线性问题提供一种新的误差分析框架，避免强正则性假设。
• 建立离散Gagliardo-Nirenberg和Sobolev不等式作为分析的辅助工具。

提出的方法

• 采用基于算子纯虚幂的算子理论方法，受Dore和Venni（1987）的启发。
• 对线性热方程的空间半离散化使用质量集中有限元方法。
• 通过Crank-Nicolson或后向Euler时间离散化及时间加权平均（θ-方法）定义全离散格式。
• 应用谱理论和 $H^\infty$-函数演算分析离散算子性质。
• 在 $L^p(0,T;L^q(\theta))$ 范数下推导离散最大正则性估计，其中 $p,q\in(1,\infty)$。
• 通过一种新方法推导最优误差界，该方法无需非线性项在半线性问题中具有全局Lipschitz连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为应用于抛物方程的有限元方法建立完全离散的最大正则性版本？
• RQ2 在质量集中下，线性和半线性抛物问题在 $L^p(0,T;L^q(\theta))$ 范数下的最优误差估计是什么？
• RQ3 时间离散化选择（如 $\theta=0, 1/2, 1$）如何影响离散最大正则性框架中的收敛阶？
• RQ4 能否通过此方法为仅具有局部Lipschitz连续非线性的半线性抛物方程推导最优误差估计？
• RQ5 离散Gagliardo-Nirenberg和Sobolev不等式在有限元格式的误差分析中起什么作用？

主要发现

• 在适当的时间步长条件下，对于 $\theta = 1/2$ 或 $\theta = 1$ 的质量集中有限元方法，在 $L^p(0,T;L^q(\Omega))$ 中建立了 $O(h^2 + \tau)$ 的最优误差估计。
• 当 $\theta = 0$ 时，若 $\tau = O(h^2)$，则方法达到 $O(h^2)$ 的收敛性，与理论边界一致。
• 公式（25）的格式实现了与理论预测相符的最优收敛速率，$\theta = 1/2$ 和 $\theta = 1$ 时的观测阶数为 $O(h^2)$。
• 相比之下，公式（97）的替代格式理论上仅给出 $O(h)$ 的误差界，但数值结果表明实际中呈现 $O(h^2)$ 的收敛性，表明该界为次优。
• 当使用公式（97）且 $\theta = 1$ 时，数值实验表明对于更小的 $h$，收敛速度变慢，趋近于 $O(h^\alpha)$（$\alpha \in [1,2)$），表明可能存在最优阶的损失。
• 本文建立了离散Gagliardo-Nirenberg和Sobolev不等式的版本，这些不等式在 $L^p(L^q)$ 框架下的误差分析中至关重要。