[论文解读] Discrete momentum maps for lattice EPDiff

Colin J. Cotter, Darryl D. Holm|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2006

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 13被引用 12

一句话总结

本文为微分同胚的欧拉-泊松方程（EPDiff）开发了一种变分粒子-网格（VPM）离散化方法，推导出速度场对拉格朗日粒子的左作用与右作用的离散动量映射。该方法通过离散的凯尔文定理精确保持环流，经数值验证，为模拟具有动量守恒的非线性内波相互作用提供了几何一致的框架。

ABSTRACT

We focus on the spatial discretization produced by the Variational Particle-Mesh (VPM) method for a prototype fluid equation the known as the EPDiff equation}, which is short for Euler-Poincaré equation associated with the diffeomorphism group (of $\mathbb{R}^d$, or of a $d$-dimensional manifold $Ω$). The EPDiff equation admits measure valued solutions, whose dynamics are determined by the momentum maps for the left and right actions of the diffeomorphisms on embedded subspaces of $\mathbb{R}^d$. The discrete VPM analogs of those dynamics are studied here. Our main results are: (i) a variational formulation for the VPM method, expressed in terms of a constrained variational principle principle for the Lagrangian particles, whose velocities are restricted to a distribution $D_{\VPM}$ which is a finite-dimensional subspace of the Lie algebra of vector fields on $Ω$; (ii) a corresponding constrained variational principle on the fixed Eulerian grid which gives a discrete version of the Euler-Poincaré equation; and (iii) discrete versions of the momentum maps for the left and right actions of diffeomorphisms on the space of solutions.

研究动机与目标

• 开发一种基于变分粒子-网格（VPM）方法的EPDiff方程几何一致空间离散化方法。
• 为半离散EPDiff推导一个约束变分原理，将拉格朗日粒子动力学与欧拉网格动力学联系起来。
• 构建微分同胚对粒子构型作用的左作用与右作用的离散动量映射。
• 建立一个离散环流定理，确保在VPM离散化下凯尔文环流定律得以保持。
• 在未来工作中将该框架扩展至包含质量密度等随流物理量，以实现色散效应的建模。

提出的方法

• 为VPM制定一个约束变分原理，将粒子速度限制在定义域上向量场的有限维子空间内。
• 从变分原理推导出欧拉网格上的离散欧拉-泊松方程，确保与连续EPDiff结构的一致性。
• 将左作用动量映射定义为通过粒子动量和形状函数进行标准VPM网格动量重构。
• 引入一个右作用动量映射，对应于粒子重标号，保持网格速度不变的同时重新分配动量。
• 利用流映射的雅可比行列式构造用于环流回路的离散线元，实现对环路积分的数值逼近。
• 使用离散形变矩阵演化线元并计算环流积分，证明其在舍入误差范围内精确守恒。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过一个约束变分原理来表述VPM方法，以保持EPDiff的几何结构？
• RQ2 微分同胚对粒子构型作用的左作用与右作用的离散动量映射是什么？
• RQ3 能否在VPM框架下推导出一个离散环流定理，以保持凯尔文环流定律？
• RQ4 离散动量映射如何与数值格式中动量守恒和粒子重标号的物理解释相关联？
• RQ5 雅可比行列式在离散设置中演化无穷小线元以计算环流积分时起什么作用？

主要发现

• VPM方法在欧拉网格上满足离散欧拉-泊松方程，确保与连续EPDiff动力学的一致性。
• 离散设置下的左作用动量映射与标准VPM网格动量重构公式一致。
• 右作用动量映射对应于一个离散重标号变换，保持网格速度不变的同时重新分配粒子动量。
• 离散环流积分在模拟过程中被精确守恒，其变化仅源于舍入误差，数值结果已证实这一点。
• 该方法成功捕捉了流场中线元的拉伸，图示显示了环路随时间的平流过程。
• 该框架为将VPM方法扩展至包含质量密度等随流物理量奠定了基础，从而可实现色散效应的建模。