[论文解读] Discrete Morse theory for moment-angle complexes of pairs (D^n,S^{n-1})

Vladimir Grujić, Volkmar Welker|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2012

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 20被引用 7

一句话总结

该论文将离散莫射理论应用于n-球面 момента-угол комплексов ${\mathcal{Z}}_K(D^n, S^{n-1})$，其中$K$为亚历山大对偶$K^\circ$是顶点可分解的单纯复形。论文证明此类复形具有与球面楔和同伦等价的同伦型，推广了对移位复形的已有结果，并以诱导子复形的约化同调表示了同伦分解。关键贡献在于通过$K_M$在$M \not\in K$时的贝蒂数表达了同伦等价关系。该结果可推广至高悬垂，并应用于单纯形的骨架及1-骨架为弦图的旗复形。

ABSTRACT

For a finite simplicial complex K and a CW-pair (X,A), there is an associated CW-complex Z_K(X,A), known as a polyhedral product. We apply discrete Morse theory to a particular CW-structure on the n-sphere moment-angle complexes Z_K(D^{n}, S^{n-1}). For the class of simplicial complexes with vertex-decomposable duals, we show that the associated n-sphere moment-angle complexes have the homotopy type of wedges of spheres. As a corollary we show that a sufficiently high suspension of any restriction of a simplicial complex with vertex-decomposable dual is homotopy equivalent to a wedge of spheres.

研究动机与目标

• 将 момента-угол复形的同伦型结果从移位单纯复形推广到更广的、其亚历山大对偶为顶点可分解的复形类。
• 利用离散莫射理论，建立${\mathcal{Z}}_K(D^n, S^{n-1})$与球面楔和之间的同伦等价。
• 将关于戈洛德环和平凡上同调乘积的已知结果推广至更高维 момента-угол复形。
• 以诱导子复形$K_M$（$M \not\in K$）的约化同调表示同伦分解公式。
• 将先前关于悬垂与球面楔和结果推广至n-球面 момента-угол复形的情形。

提出的方法

• 对$n$-球面 момента-угол复形${\mathcal{Z}}_K(D^n, S^{n-1})$的特定CW-结构应用离散莫射理论。
• 利用亚历山大对偶$K^\circ$的顶点可分解性，在 момента-угол复形上构造离散莫射匹配。
• 利用莫射匹配的临界胞腔，识别出其同伦型为球面楔和。
• 通过每个$M \not\in K$的约化同调群$\widetilde{H}_{i - (n-1)\#M - 1}(K_M, \mathbb{K})$（其中$K_M$为$K$在$M$上的限制）推导同伦等价公式。
• 通过顶点数的归纳法以及$K^\circ$中脱落顶点的结构，证明莫射匹配可适当减少。
• 应用关于悬垂与同伦函子的已知结果，将结论推广至稳定范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，单纯复形$K$的$n$-球面 момента-угол复形${\mathcal{Z}}_K(D^n, S^{n-1})$同伦等价于球面楔和？
• RQ2 亚历山大对偶$K^\circ$的顶点可分解性如何影响${\mathcal{Z}}_K(D^n, S^{n-1})$的同伦型？
• RQ3 是否能以$M \not\in K$的诱导子复形$K_M$的约化同调表示${\mathcal{Z}}_K(D^n, S^{n-1})$的同伦分解？
• RQ4 该结果是否可推广至 момента-угол复形的悬垂？若可，其同伦型如何变化？
• RQ5 对于$n > 2$，Stanley-Reisner环的戈洛德性质与球面楔和同伦型之间有何关系？

主要发现

• 若单纯复形$K$的亚历山大对偶$K^\circ$为顶点可分解，且对所有$i \in [m]$有$\{i\} \in K$，则$n$-球面 момента-угол复形${\mathcal{Z}}_K(D^n, S^{n-1})$具有与球面楔和同伦等价的同伦型。
• 同伦等价关系显式表达为$\displaystyle{\mathcal{Z}}_K(D^n, S^{n-1}) \simeq \bigvee_{i \geq 0} \bigvee_{\substack{M \not\in K \\ M \subseteq [m]}} \dim_{\mathbb{K}} \widetilde{H}_{i - (n-1)\#M - 1}(K_M, \mathbb{K}) \cdot S^i$，其中任意域$\mathbb{K}$均成立。
• 该结果推广了文献[15]中研究的移位单纯复形情形，因为移位复形的亚历山大对偶均为顶点可分解。
• 对于$m$个顶点的单纯形的$k$-骨架， момента-угол复形同伦等价于$\bigvee_{j=1}^{m-k} \binom{m}{k+j} \binom{k+j-j}{k} S^{nk + j(n-1)}$，与[14]和[15]中的已知结果一致。
• ${\mathcal{Z}}_K(D^n, S^{n-1})$的双重悬垂同伦等价于球面楔和，将[1]中的结果推广至$n$-球面情形。
• 该结果适用于1-骨架为弦图的旗复形$K$，因为此类复形的亚历山大对偶为顶点可分解，因此${\mathcal{Z}}_K(D^n, S^{n-1})$为球面楔和。