[论文解读] Discrete phase space and minimum-uncertainty states

William K. Wootters, Daniel M. Sussman|ArXiv.org|Apr 10, 2007

Scientific Measurement and Uncertainty Evaluation被引用 28

一句话总结

本文通过在 𝔽₂ⁿ 上使用有限域 Wigner 函数，为 n-量子比特系统引入了离散相空间中的旋转不变性概念。研究表明，旋转不变态在所有相互 unbiased 基上最小化 Rényi 熵，从而在信息论意义上被确立为最小不确定态，且在单量子比特和三量子比特系统中给出了明确示例，显示其 Wigner 函数在中心处取最大值。

ABSTRACT

The quantum state of a system of qubits can be represented by a Wigner function on a discrete phase space, each axis of the phase space taking values in a finite field. Within this framework, we show that one can make sense of the notion of a "rotationally invariant state" of any collection of qubits, and that any such state is, in a well defined sense, a state of minimum uncertainty.

研究动机与目标

• 为 n-量子比特系统的离散相空间定义并表征旋转不变量子态。
• 在传统位置-动量不确定关系不适用的离散相空间中，建立最小不确定性的严格概念。
• 识别在所有相互 unbiased 基上最小化 Rényi 熵的态，作为相干态的类比。
• 探讨此类态的物理意义，特别是在量子密码学等量子信息背景下的意义。
• 确定是否存在一个“最点状”的态，其定义为 Wigner 函数在中心处取最大值。

提出的方法

• 在 2ⁿ × 2ⁿ 的相空间上构造基于有限域 𝔽₂ⁿ 的离散 Wigner 函数，通过平移协变性将纯态分配给直线。
• 利用与 𝔽₂ⁿ 上线性变换（旋转）相关的酉算符来定义对称性，并识别旋转不变态。
• 应用 2 阶 Rényi 熵来量化所有测量方向（相互 unbiased 基）上的不确定性，而不仅限于位置和动量。
• 施加约束条件，确保分配给平行直线的态正交，且不同条纹结构（基）相互 unbiased，从而得到 d+1 个此类基，其中 d=2ⁿ。
• 推导出一个不等式，表明当所有 d+1 个相互 unbiased 测量的熵相等时，平均 Rényi 熵最小。
• 通过 𝔽₈ 的本原元和保持相空间圆的旋转矩阵，对单量子比特和三量子比特系统进行显式构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 n-量子比特系统在离散相空间中定义有意义的旋转不变性概念？
• RQ2 旋转不变态是否在明确定义的信息论意义上最小化不确定性？
• RQ3 在旋转不变态中，是否存在唯一或显著的态，其在相空间中最为“点状”？
• RQ4 能否为如单量子比特或三量子比特等小系统显式构造此类最小不确定态？
• RQ5 在离散相空间中，Wigner 函数的正性与最小不确定性质之间存在何种关系？

主要发现

• 对于任意数量的量子比特，旋转不变态均存在，且其特征为在所有 d+1 个相互 unbiased 基上的平均 Rényi 熵最小化。
• 对于单量子比特，两个旋转不变态是 X+Y+Z 的本征态，并在 X、Y、Z 测量上最小化平均 Rényi 熵。
• 在三量子比特情况下，八个旋转不变态之一的 Wigner 函数为正，且在中心处达到最大可能值（0.319）。
• 该中心值 0.319 是任何三量子比特态所能达到的最大值，表明其具有“最点状”行为。
• 态 |ψ⟩ = √(1/3)|+++⟩ + √(2/3)|---⟩ 被显式构造为在原点处 Wigner 函数最大的旋转不变态。
• 所有旋转不变态均被证明在 Rényi 熵意义下最小化不确定性，尽管它们在传统谐振子意义上并非相干态。