[论文解读] Discrete Quantum Processes

Stan Gudder|arXiv (Cornell University)|May 31, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文将离散量子过程定义为 L² 空间上的局部量子态序列，展示了其如何在圆柱集上生成量子测度，并通过‘二次代数’系统性地扩展到更广泛的物理相关集合。主要贡献在于严格地将量子测度扩展至圆柱集之外的合适集合，从而通过随机变量的算子量化定义了量子积分。

ABSTRACT

A discrete quantum process is defined as a sequence of local states $ρ_t$, $t=0,1,2,...$, satisfying certain conditions on an $L_2$ Hilbert space $H$. If $ρ=\limρ_t$ exists, then $ρ$ is called a global state for the system. In important cases, the global state does not exist and we must then work with the local states. In a natural way, the local states generate a sequence of quantum measures which in turn define a single quantum measure $μ$ on the algebra of cylinder sets $\cscript$. We consider the problem of extending $μ$ to other physically relevant sets in a systematic way. To this end we show that $μ$ can be properly extended to a quantum measure $\mutilde$ on a "quadratic algebra" containing $\cscript$. We also show that a random variable $f$ can be "quantized" to form a self-adjoint operator $\fhat$ on $H$. We then employ $\fhat$ to define a quantum integral $\int fd\mutilde$. Various examples are given

研究动机与目标

• 将离散量子过程形式化为 H = L²(Ω, A, ν) 上的局部态序列 ρₜ，尤其在全局态不存在时。
• 解决将定义在圆柱集上的量子测度 μ 扩展至更广泛物理意义集合的挑战。
• 系统性地将量子测度 μ 扩展至一个‘二次代数’ S，该代数严格包含圆柱集代数 C。
• 通过将实值随机变量 f 量化为自伴算子 f̂，定义量子积分 ∫fdμ̃，从而实现量子期望的计算。

提出的方法

• 将离散量子过程定义为 H = L²(Ω, A, ν) 上的局部态序列 ρₜ，其中 Ω 表示路径或历史。
• 通过 μ(A) = lim ⟨ρₜχ_A, χ_A⟩ 构造圆柱集代数 C 上的量子测度 μ，使用退相干泛函 Dρ(A,B) = ⟨ρχ_B, χ_A⟩。
• 引入‘合适’集合类 S ⊇ C，使得 lim ⟨ρₜχ_A, χ_A⟩ 存在且有限，定义 S 上的新测度 μ̃(A) = lim ⟨ρₜχ_A, χ_A⟩。
• 证明 S 构成一个‘二次代数’，且 μ̃ 是 S 上的有效量子测度，扩展了 μ。
• 通过特征函数的谱结构，将实值随机变量 f 量化为 H 上的自伴算子 f̂。
• 将量子积分定义为 ∫fdμ̃ = tr(ρf̂)，并通过 f̂ 的特征值分解对简单函数进行计算，再通过极限过程推广至一般函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当全局态不存在时，能否系统性地将定义在圆柱集上的量子测度 μ 扩展至更大类的物理相关集合？
• RQ2 在 lim ⟨ρₜχ_A, χ_A⟩ 存在并定义一致量子测度的集合集合中，其背后的代数结构是什么？
• RQ3 当 f 为随机变量且 μ̃ 为扩展的量子测度时，如何定义并计算量子积分 ∫fdμ̃？
• RQ4 退相干泛函及其关联算子在构造局部态 ρₜ 和最终量子测度中起什么作用？
• RQ5 如何通过谱分解将随机变量 f 量化为自伴算子 f̂，并利用其计算量子积分？

主要发现

• 合适集合 S 的集合构成一个‘二次代数’，其严格包含圆柱集代数 C，从而实现了量子测度的系统性扩展。
• 扩展测度 μ̃(A) = lim ⟨ρₜχ_A, χ_A⟩ 在 S 上定义了一个有效的量子测度，其推广了 C 上的原始测度 μ。
• 对于两站点量子随机行走，事件‘粒子访问原点’及其补集属于 S ∖ C，表明 S 捕获了超出圆柱集的物理意义事件。
• 量子积分 ∫fdμ̃ 定义为 tr(ρf̂)，对于简单函数，可通过量化算子 f̂ 的特征值分解进行计算。
• 对于两值随机变量 f = αχ_A + βχ_B，可通过二次方程显式求得 f̂ 的特征值，从而实现量子积分的直接计算。
• 该方法可通过两两量化中的容斥原理推广至 n 值函数，使得量子积分可表示为包含特征值与态重叠的有限和。