[论文解读] Discrete scale invariance in turbulence?

D. Sornette|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 1998

Complex Systems and Time Series Analysis被引用 6

一句话总结

本文提出，通过结构函数中的对数周期调制，在幂律标度之上，湍流时间序列表现出离散标度不变性（DSI）。作者提出一种以最大耗散尺度 $ r_c $ 为中心的规范平均方法，以增强对数周期信号，旨在为湍流中的 DSI 提供实证证据，并揭示其与柯尔莫哥洛夫级联层级结构的关联。

ABSTRACT

Based on theoretical argument and experimental evidence, we conjecture that structure functions of turbulent times series exhibit log-periodic modulations decorating their power law dependence. In order to provide ironclad experimental evidence, we stress the need for novel methods of averaging and propose a novel ``canonical'' averaging scheme for the analysis of structure factors of turbulent flows. The strategy is to determine the scale $r_c$ at which the dissipation rate is the largest in a given turn-over time series. This specific scale $r_c$ translates into a specific ``phase'' in the logarithm of the scale which, when used as the origin, allows one to phase up the different measurements of a structure factor $S_p(r) = A_p (\barεr)^{p/3}$ in different turn-over time realizations. We expect, as in Laplacian growth and in rupture, that the log-periodic oscillations will be reinforced by this canonical averaging. Demonstrating unambiguously the presence of log-periodicity and thus of discrete scale invariance (DSI) in turbulent time-series would provide an important step towards a direct demonstration of the Kolmogorov cascade or at least of its hierarchical imprint.

研究动机与目标

• 为湍流中的离散标度不变性（DSI）提供实证证据。
• 解决在噪声和变异性掩盖下，从湍流时间序列中检测微弱对数周期振荡的挑战。
• 开发一种新颖的规范平均方案，通过将测量对齐至物理解释意义明确的尺度 $ r_c $，增强对数周期信号的可见性。
• 检验先前在拉普拉斯生长和断裂等系统中观察到的 DSI 是否也刻画了湍流中的柯尔莫哥洛夫级联。
• 加强自相似性与充分发展湍流中层级能量传递之间理论联系。

提出的方法

• 提出一种规范平均方案，以在每个转 turnover 时间序列中耗散率最大的尺度 $ r_c $ 为参考原点，实现对数标度。
• 将结构函数定义为 $ S_p(r) = A_p (\bar\epsilon r)^{p/3} $，并预期从离散标度不变性中产生对数周期调制。
• 通过使用对应于 $ r_c $ 的相位，对结构函数的多个实现进行相位对齐，以减少统计离散。
• 将此相位锁定平均应用于强化对数周期振荡，从而在噪声中提高其可检测性。
• 应用此方法分析湍流时间序列数据，以明确识别 DSI 的特征。
• 借鉴其他系统（如拉普拉斯生长、断裂）中 DSI 的见解，指导对湍流中结果的解释。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能稳健地检测到指示离散标度不变性的对数周期调制？
• RQ2 以 $ r_c $ 为中心的规范平均是否能显著增强结构函数中对数周期振荡的可见性？
• RQ3 湍流中 DSI 的存在是否与柯尔莫哥洛夫理论描述的层级能量级联一致？
• RQ4 所提出的平均方法是否能减少统计波动，提高实验数据中 DSI 检测的可靠性？
• RQ5 在湍流离散标度不变性的背景下，尺度 $ r_c $ 的物理意义是什么？

主要发现

• 基于 $ r_c $ 的规范平均方法，通过跨不同实现对齐相位，有望显著增强结构函数中对数周期振荡的振幅。
• 该方法为相位对齐测量提供了系统性方法，减少噪声，提高信噪比，从而更易检测 DSI。
• 若对数周期调制得到证实，将为湍流中的离散标度不变性提供强有力的实证支持。
• DSI 的存在将表明能量级联中存在层级自相似结构，与柯尔莫哥洛夫1941年理论一致，但进一步扩展了其内涵。
• 该方法为测试复杂系统中 DSI 的存在提供了一条新途径，尤其当连续标度不变性不足以描述数据时。
• 该方法设计具有鲁棒性且基于物理基础，使用 $ r_c $ 作为由流动动力学导出的自然参考尺度。