[论文解读] Discrete scattering by two staggered semi-infinite defects: reduction of matrix Wiener-Hopf problem

Basant Lal Sharma|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2019

Ultrasonics and Acoustic Wave Propagation参考文献 84被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的约化方法，针对由正方形晶格上两个错列的半无限裂纹或刚性约束引起的离散波散射问题中的矩阵Wiener-Hopf问题。通过重新表述问题，将本质上复杂的2×2矩阵核分解问题转化为求解一个有限的线性代数方程组——其系数通过标量Wiener-Hopf分解获得——从而实现了对正负偏移情况的精确解。

ABSTRACT

As an extension of the discrete Sommerfeld problems on lattices, the scattering of a time harmonic wave is considered on an infinite square lattice when there exists a pair of semi-infinite cracks or rigid constraints. Due to the presence of stagger, also called offset, in the alignment of the defect edges the asymmetry in the problem leads to a matrix Wiener-Hopf kernel that cannot be reduced to scalar Wiener-Hopf in any known way. In the corresponding continuum model the same problem is a well known formidable one which possesses certain special structure with exponentially growing elements on the diagonal of kernel. From this viewpoint the present paper tackles a discrete analogue of the same by reformulating the Wiener-Hopf problem and reducing it to a finite set of linear algebraic equations; the coefficients of which can be found by an application of the scalar Wiener-Hopf factorization. The considered discrete paradigm involving lattice waves is relevant for modern applications of mechanics and physics at small length scales.

研究动机与目标

• 解决一个经典连续体问题的离散类比，即涉及错列半无限板且边缘错位的波散射问题。
• 克服非可解矩阵Wiener-Hopf核中存在指数相位因子的挑战，该类核缺乏已知的分解方法。
• 通过引入缺陷之间的水平偏移（M）和垂直间距（N），推广先前关于零偏移缺陷的研究。
• 实现对裂纹和刚性约束构型下散射波场的精确计算，包括近尖端和远场行为。
• 提供一个框架，通过正负偏移之间的对称性，同时评估上下两边缘的波场。

提出的方法

• 在具有两个错列半无限缺陷（裂纹或刚性约束）的正方形晶格上建立离散散射问题，引入偏移M和间距N。
• 推导出形式为[1, λ^N z^{-M}; λ^N z^M, 1]的矩阵Wiener-Hopf方程，其中λ和z是γ和ξ的离散类比。
• 通过引入辅助函数，对矩阵Wiener-Hopf问题进行重新表述，将系统解耦为有限个线性代数方程组。
• 将解简化为求逆|M|×|M|矩阵（裂纹情况）和(|M|+2)×(|M|+2)矩阵（刚性约束情况），其系数通过标量Wiener-Hopf分解获得。
• 应用标量Wiener-Hopf方法对特征函数进行分解，从而实现矩阵元素的显式计算。
• 利用正负偏移之间的对称性和符号反转映射，推导出上下边缘波场之间的交叉关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管具有非标量且指数增长的结构，错列晶格缺陷产生的矩阵Wiener-Hopf核是否可以约化为可解的代数系统？
• RQ2 缺陷边缘之间的水平偏移M如何影响离散散射问题的分解与求解？
• RQ3 当偏移符号反转时，上下边缘波场之间的关系是什么？该关系是否可用于同时评估？
• RQ4 在晶格间距趋于零时，该离散模型在多大程度上能再现经典连续体问题中错列板的行为？
• RQ5 标量Wiener-Hopf因子如何影响解的结构，特别是对频率虚部的数值稳定性和依赖性？

主要发现

• 错列缺陷的矩阵Wiener-Hopf问题被约化为求解有限个线性代数方程组，系数矩阵的大小取决于偏移量|M|的绝对值。
• 对于裂纹，系统为|M|×|M|；对于刚性约束，系统为(|M|+2)×(|M|+2)，显著简化了原始的无限维问题。
• 线性系统系数通过特征函数的标量Wiener-Hopf分解确定，从而实现了分析上的可处理性。
• 负偏移情况的解可通过正偏移情况的垂直翻转和相位调整推导得出，从而实现了对两种构型的对称处理。
• （未提供证明）提出波场在上下边缘之间通过变换后的波分量与相位偏移组合相关联，该结论已通过数值验证。
• 数值证据表明，两种偏移符号在与频率虚部的关系上可能表现出不同行为，这可能是由于底层标量Wiener-Hopf因子结构差异所致。