[论文解读] Discrete spectrum of a pair of nonsymmetric waveguides coupled by a window

D. I. Borisov|ArXiv.org|Dec 20, 2005

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 17被引用 11

一句话总结

本文分析了通过有限窗口耦合的宽度不同的二维量子波导的离散谱。利用渐近分析，推导出当窗口长度经过临界值时，从连续谱阈值处出现的本征值的精确展开式，并建立了大窗口尺寸下的渐近行为，揭示了在非对称情况下本征值如何向连续谱边缘移动并聚集。

ABSTRACT

In the paper we study the discrete spectrum of a pair of quantum two-dimensional waveguides having common boundary in which a window of finite length is cut out. We study the phenomenon of new eigenvalues emerging from the threshold of the essential spectrum when the length of window passes through critical values. We construct the asymptotics expansions for the emerging eigenvalues with respect to small parameter which is the difference between current length of the window and the nearest critical value. We also study the behaviour of the spectrum when the length of the window increases unboundedly and construct asymptotics expansions with respect to great parameter which is a length of the window.

研究动机与目标

• 研究一对宽度不同的二维量子波导通过有限窗口耦合时，离散本征值的涌现行为。
• 确定新的本征值从连续谱阈值处出现的临界窗口长度。
• 推导出这些涌现本征值在临界长度附近作为窗口长度函数的渐近展开式。
• 研究当窗口长度趋于无穷大时，离散谱的行为，包括本征值的移动与在连续谱边缘的聚集。

提出的方法

• 将谱问题表述为在由两个平行条带通过长度为 $2l$ 的窗口连接而成的区域上定义的狄利克雷拉普拉斯算子。
• 通过拉普拉斯算子的弗里德里希斯延拓，定义 $L^2(\Pi)$ 上的自伴算子 $H_l$。
• 在 $l \to l_n^\pm$（接近临界窗口长度）的极限下使用微扰理论和算子分解进行渐近分析。
• 将本征函数分解为波导区域和窗口区域的分量，并利用边界积分方程建立它们之间的关系。
• 推导出一个关键方程（5.14），其中涉及散射振幅和一个受扰动的算子，通过关于 $k(l)$ 的非线性方程定位本征值。
• 通过分析相位条件 $\sin kl = \mathcal{O}(l^{-1})$ 或 $\cos kl = \mathcal{O}(l^{-1})$（取决于对称性），建立大 $l$ 时本征值的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非对称波导中，当窗口长度经过哪些临界值时，新的离散本征值会从连续谱阈值处涌现？
• RQ2 当窗口长度从下方或上方趋近临界值时，本征值的渐近行为如何？
• RQ3 在临界长度附近的小区窗口区域，本征值的渐近展开式是什么？
• RQ4 当窗口长度增加至无穷大时，离散谱如何演化？本征值的极限行为是什么？
• RQ5 本征函数在 $x_1$ 上的对称性（偶/奇）如何影响本征值的渐近结构？

主要发现

• 当窗口长度经过临界值 $l_n$ 时，新的本征值从连续谱阈值处涌现，其中第一个临界值为 $l_1 = 0$。
• 对于在 $l_n$ 附近涌现的本征值，其渐近展开为 $\lambda_m(l) = \varkappa^2 + k^2(l)$，其中 $k(l) = \pi q / l + \mathcal{O}(l^{-2})$（当 $m$ 为偶数时，$q = m/2$），而 $k(l) = \pi(2q+1)/(2l) + \mathcal{O}(l^{-2})$（当 $m$ 为奇数时），具体取决于对称性。
• 对于大窗口长度，本征值满足 $kl = \pi q + \mathcal{O}(l^{-1})$ 或 $kl = \pi/2 + \pi q + \mathcal{O}(l^{-1})$，从而得到 $\lambda_m(l) \to \varkappa^2 + \pi^2 m^2 / (4l^2)$ 当 $l \to \infty$，表明本征值在 $\varkappa^2$ 附近发生聚集。
• 与涌现本征值相关的本征函数在窗口附近表现出局域化行为，其振幅在耦合区域之外呈指数衰减。
• 离散本征值的数量随窗口长度增加而增加，且当 $l$ 较大时，本征值在 $\varkappa^2$（即连续谱的下边界）附近聚集。
• 渐近展开式对 $x_1$ 上的偶数和奇数本征函数均成立，不同的相位条件（$\sin kl$ 或 $\cos kl$）决定了本征值的结构。