[论文解读] Discrete stress-energy tensor in the loop O(n) model

Dmitry Chelkak, Alexander Glazman+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2016

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 32被引用 17

一句话总结

该论文通过使用局部非平面形变，在蜂窝晶格上的环O(n)模型中引入了离散的应力-能量张量，构造了一个满足离散版柯西-黎曼方程的可观测量。对于n=1（即伊辛模型），证明了离散应力-能量张量收敛于连续全纯应力-能量张量，其相关函数与中心电荷c=1/2的二维共形场论（CFT）中的结果一致。

ABSTRACT

We study the loop $O(n)$ model on the honeycomb lattice. By means of local non-planar deformations of the lattice, we construct a discrete stress-energy tensor. For $n\in [0,2]$, it gives a new observable satisfying a part of Cauchy-Riemann equations. We conjecture that it is approximately discrete-holomorphic and converges to the stress-energy tensor in the continuum, which is known to be a holomorphic function with the Schwarzian conformal covariance. In support of this conjecture, we prove it for the case of $n=1$ which corresponds to the Ising model. Moreover, in this case, we show that the correlations of the discrete stress-energy tensor with primary fields converge to their continuous counterparts, which satisfy the OPEs given by the CFT with central charge $c=1/2$. Proving the conjecture for other values of $n$ remains a challenge. In particular, this would open a road to establishing the convergence of the interface to the corresponding $\mathrm{SLE}_κ$ in the scaling limit.

研究动机与目标

• 通过无穷小晶格形变，在蜂窝晶格上的环O(n)模型中定义离散应力-能量张量。
• 为n ∈ [-2, 2] 构造一个满足柯西-黎曼方程离散类比的可观测量。
• 证明在伊辛模型情形（n=1）下，离散应力-能量张量及其相关函数收敛于连续全纯应力-能量张量。
• 建立离散应力-能量张量与初级场相关函数收敛于二维CFT中c=1/2情形的结果。
• 为证明一般n下界面在标度极限下收敛于SLEκ奠定基础。

提出的方法

• 通过蜂窝晶格的局部非平面形变，定义离散应力-能量张量分量𝒯_edge和𝒯_mid。
• 通过组合边和中边张量分量，构造复值可观测量𝒯。
• 利用圆锥奇点形式的无穷小形变，将张量与离散全纯性联系起来。
• 使用费米子可观测量和旋量场，计算伊辛模型中的期望值与相关函数。
• 利用s-全纯性及离散费米子可观测量的收敛结果，建立标度极限。
• 依赖格林函数的渐近分析与离散导数，证明收敛至连续极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在蜂窝晶格上的环O(n)模型中一致地定义离散应力-能量张量？
• RQ2 对于n ∈ [-2, 2]，离散应力-能量张量是否满足柯西-黎曼方程的离散版本？
• RQ3 在伊辛模型（n=1）情形下，离散应力-能量张量与初级场的相关函数是否收敛于其连续对应物？
• RQ4 在n=1时，离散应力-能量张量是否收敛于连续极限下的全纯应力-能量张量？
• RQ5 对于一般n，能否证明该张量的猜想离散全纯性，从而实现标度极限下收敛于SLEκ？

主要发现

• 通过局部非平面晶格形变，在环O(n)模型中成功构造了离散应力-能量张量。
• 对于n=1（伊辛模型），离散应力-能量张量在连续极限下收敛于全纯应力-能量张量。
• 离散应力-能量张量与初级场的相关函数收敛于二维CFT中c=1/2情形的结果。
• 离散费米子可观测量收敛于其连续对应物，且在奇点以外的紧子集上收敛一致。
• 在伊辛模型情形下，离散应力-能量张量满足离散版的施瓦茨共形协变性。
• 该构造为证明一般n下界面收敛于SLEκ提供了路径，尽管n ≠ 1时该结论仍为开放问题。