[论文解读] Discrete Sums of Geometric Brownian Motions, Annuities and Asian Options

Dan Pirjol, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文分析了几何布朗运动（GBM）离散和的概率分布，重点关注其在精算科学中用于随机年金定价，以及在数学金融中用于亚式期权定价的应用。研究推导了GBM有限和、无限和及几何停止和的尾部渐近行为与渐近分布函数，并在时间步长趋于零的极限下，建立了离散和向连续时间积分分布的收敛性。

ABSTRACT

The discrete sum of geometric Brownian motions plays an important role in modeling stochastic annuities in insurance. It also plays a pivotal role in the pricing of Asian options in mathematical finance. In this paper, we study the probability distributions of the infinite sum of geometric Brownian motions, the sum of geometric Brownian motions with geometric stopping time, and the finite sum of the geometric Brownian motions. These results are extended to the discrete sum of the exponential Lévy process. We derive tail asymptotics and compute numerically the asymptotic distribution function. We compare the results against the known results for the continuous time integral of the geometric Brownian motion up to an exponentially distributed time. The results are illustrated with numerical examples for life annuities with discrete payments, and Asian options.

研究动机与目标

• 分析离散时间下几何布朗运动（GBM）有限和、无限和及几何停止和的分布特性。
• 将结果推广至指数Lévy过程的离散和，并与连续时间极限进行比较。
• 推导这些和的尾部分布渐近性，并数值计算其渐近分布函数。
• 将离散时间结果与GBM在指数分布时间上的积分的已知连续时间结果进行比较。
• 为离散支付的终身年金和亚式期权定价提供数值实例。

提出的方法

• 使用随机递推方程对离散时间点上GBM的和进行建模。
• 应用几何停时理论分析在几何分布随机时间停止的和。
• 通过矩估计和布朗运动增量，推导离散和与连续时间积分之间差异的界。
• 通过弱收敛论证，实现离散时间过程向连续时间过程的收敛。
• 在条件 $ m - \frac{1}{2}\sigma^2 < 0 $ 下，以逆伽马分布作为GBM无限和的极限分布。
• 建立离散和在时间步长 $ \tau \to 0 $ 时收敛于GBM连续时间积分的分布收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当漂移满足 $ m - \frac{1}{2}\sigma^2 < 0 $ 时，几何布朗运动无限和的极限分布是什么？
• RQ2 GBM有限和的分布尾部行为如何渐近表现？
• RQ3 当时间步长 $ \tau \to 0 $ 时，GBM离散和向GBM连续时间积分的收敛速率如何？
• RQ4 离散和的结果与GBM在指数分布时间上的积分的已知连续时间结果相比如何？
• RQ5 在资产收益服从GBM模型下，离散随机年金的现值分布是什么？

主要发现

• 当 $ m - \frac{1}{2}\sigma^2 < 0 $ 时，GBM的无限和依分布收敛于逆伽马分布，极限密度为 $ \phi_{\infty}(z) = \left(\frac{2}{\sigma^2}\right)^{1 - \frac{2m}{\sigma^2}} \frac{1}{z^2} \exp\left(-\frac{2}{\sigma^2 z}\right) / \Gamma\left(1 - \frac{2m}{\sigma^2}\right) $。
• 当 $ \tau \to 0 $ 时，离散和与GBM连续时间积分之间的差异以概率收敛于零，误差项 $ R_\tau \to 0 $。
• 对于几何停止和，极限分布收敛于指数时间 $ T_\lambda $ 以内的连续时间积分，其中 $ \lambda $ 为速率参数。
• 通过测度的弱收敛，建立了离散和累积分布函数向连续积分累积分布函数的收敛性。
• 数值实例验证了理论结果，表明在年金估值与亚式期权定价中，离散模型与连续模型结果高度一致。
• 推导了和分布的尾部分布渐近性，显示极端值具有重尾行为，这对精算与金融风险管理至关重要。